Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств: Пусть — открытое подмножество компактного пространства , а — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если , то существует конечное множество , такое, что .
Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств): Пусть — открытое подмножество компактного пространства , а — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что . Тогда для некоторого конечного подсемейства .
Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества и из дополнений элементов семейства , является открытым покрытием пространства и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.
Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.Действительно, пусть некоторое топологическое пространство обладает указанным в формулировке леммы Шуры-Буры свойством. Докажем, что это пространство компактно. Пусть — произвольное его открытое покрытие. Предполагая непустоту семейства , выберем произвольное . Положим ; тогда (поскольку — покрытие). Следовательно, найдется конечное , для которого . Легко видеть, что семейство открытых множеств, состоящее из и дополнений элементов семейства , является конечным подсемейством семейства , покрывающим пространство .
Обобщения леммы Шуры-Буры Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактноеСм., например, , Следствие 3.1.5 (С. 197).: Пусть — открытое подмножество пространства , а — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём . Тогда для некоторого конечного подсемейства .
В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усилениеСм., например , лемма 2.4.6. В этой книге отмечено, что данное утверждение принадлежит топологическому фольклору.: Пусть — открытое подмножество хаусдорфова пространства , а — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что . Тогда найдутся конечное семейство и конечное семейство открытых в множеств, обладающие следующими свойствами:а) для ;б) .
Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова, где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941)М. Р. Шура-Бура. К теории бикомпактных пространств. — Матем. сб., 1941, 9(51):2, 385—388, Теорема I. В этой оригинальной работе «лемма Шуры-Буры» не сформулирована в качестве отдельного утверждения, но доказана неявно.: Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентойКомпонента (компонента связности) точки топологического пространства — это наибольшее связное подпространство этого пространства, содержащее данную точку; квазикомпонента — пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств этого пространства, содержащих данную точку. Компонента каждой точки топологического пространства содержится в её квазикомпоненте. Обратное, вообще говоря, неверно (даже в случае локально компактных подпространств обычной евклидовой плоскости — см. Энгелькинг (loc. cit.), пример 6.1.24), однако в компактах (то есть компактных хаусдорфовых пространствах) компоненты точек совпадают с квазикомпонентами, как гласит указанная теорема. См. также её доказательство в цитированных книгах П. С. Александрова и Р. Энгелькинга.. Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры»См., например, М. В. Келдыш. Отзыв о научной деятельности М. Р. Шура-Бура (1968) ; Д. К. Мусаев. — О характеризации полных отображений посредством морфизмов в нульмерные. — Матем. тр., 7:2 (2004), 72—97.. Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914).
Примечания
Категория:Общая топология Шуры-Буры Категория:Теоремы топологии