Ла́сточкин хвост () — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.
Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустикБрус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений .
Определение Рассмотрим многочлен от переменной , зависящий от коэффициентов (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов однозначно соответствует многочлен , а также точка в пространстве с декартовыми координатами . Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность в пространстве с координатами , точкам которой соответствуют многочлены , имеющие кратные корни.
Поверхность имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность разбивает пространство на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена . Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.
Параметрическое задание
Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена дает систему из двух уравнений:
откуда нетрудно выразить переменные через :
Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты , рассматривая переменные в правой части полученных уравнений как параметры: , и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением , получаем параметрическую запись:
В искусстве В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности в пространстве плоскостью — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментовЛасточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали . Теория катастроф 1979 - 1983 . The Swallow’s TailDalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l’oeuvre et l’homme (Lausanne: Edita, 1984)..
См. также Дискриминант
Литература Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей Категория:Теория катастроф Категория:Теория особенностей