Дифференциа́льная фо́рма — кососимметрическое тензорное поле типа на многообразии, число называется степенью или порядком формы, а сама форма — -формой (например, 2-формой при ).
Введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказался удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.
Пространство -форм на многообразии обычно обозначают .
Инвариантное определение -форма в нотации дифференциальной геометрии определяется как гладкое сечение , то есть -й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности значение -формы на наборе из штук касательных векторных полей есть функция на многообразии, а значение -формы в точке многообразия есть кососимметрический -линейный функционал на .
Координатное определение -форму с использованием локальных координат в можно определить как выражение вида: , где — гладкие функции, — дифференциал -ой координаты (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ), а — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.
На гладком многообразии -формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках.
Связанные определения Для -формы:
её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — -форма, в координатах имеющая вид:
Для инвариантного определения дифференциала нужно доказать, что существует единственное -линейное продолжение дифференциала на все формы удовлетворяющее следующим условиям: для любой функции (то есть -формы) и векторного поля , то есть значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля; ; — где верхние индексы и обозначают порядки соответствующих форм.
Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой -формы.
Факторгруппа замкнутых -форм по точным -формам называется -мерной группой когомологий де Рама. теорема де Рама утверждает, что она изоморфна -мерной группе сингулярных когомологий.
Внутренней производной формы степени по векторному полю (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма: .
Свойства Для любой формы справедливо .
Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница: .
Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница: .
Формулы Картана: для произвольной формы и векторных полей выполняются следующие соотношения: , (волшебная формула Картана) , , , где обозначает производную Ли.
Примеры С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке многообразия и отображающий элементы касательного пространства в множество вещественных чисел :
Форма объёма — пример -формы на -мерном многообразии.
Симплектическая форма — замкнутая 2-форма на -многообразии, такая что .
Применения
Векторный анализ Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности.
В частности, ротор и дивергенцию можно определить следующим способом: , , где — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а — звезда Ходжа (которая, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами).
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. 2-форма Фарадея, соответствующая тензору электромагнитного поля, определяется следующим образом: , она является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид: .
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как: , , где — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма также называется 2-формой Максвелла.
Гамильтонова механика
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие с заданными на нём симплектической формой и функцией , называемой функцией Гамильтона. задаёт в каждой точке изоморфизм кокасательного и касательного пространств по правилу ,
где — дифференциал функции . Векторное поле на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций и на определяется по правилу: .
Вариации и обобщения Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние -формы на со значениями в векторном расслоении определяются как сечения тензорного произведения расслоений: .
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение .
Литература
Категория:Дифференциальные формы