Уи́льям Ро́уэн Га́мильтон (; 4 августа 1805 — 2 сентября 1865) — ирландский , -теоретик, , «один из лучших математиков XIX века». Известен фундаментальными открытиями в математике (кватернионы, основы векторного анализа, вариационное исчисление, обоснование комплексных чисел), аналитической механике (гамильтонова механика) и оптике — С. 73—74. Автор предельно общего вариационного принципа наименьшего действия, применяемого во многих разделах физики.

Королевский астроном Ирландии (1827—1865). Член Ирландской королевской академии (1837; в 1837—1845 годах — её президент). Член-корреспондент многих академий наук и научных обществ, в том числе Российской академии наук (1837), первый иностранный член Национальной академии наук США (1864) — P. 204—206. Академик А. Н. Крылов писал, что Гамильтон — «один из величайших математиков, отличавшийся многочисленностью своих работ, важностью заключавшихся в них открытий, глубиною мысли, оригинальностью методов, вместе с тем и как вычислитель имевший мало себе равных».

Биография

Детство и юность Гамильтон был четвёртым из девяти детей в семье ирландки Сары Хаттон (, 1780—1817) и полуирландца, полушотландца Арчибальда Гамильтона (, 1778—1819). Арчибальд, родом из городка Данбойн, работал в Дублине юристом. Из-за финансовых затруднений и плохого здоровья родителей было решено с годовалого возраста передать мальчика на воспитание дяде по отцу. Дядя, Джеймс Гамильтон, человек хорошо образованный, служил викарием и учителем в городе Трим; он с симпатией отнёсся к племяннику и всячески помогал его развитию. Вскоре Уильям окончательно остался без родителей — мать умерла, когда мальчику было 12 лет, отец пережил её на два года. Позднее Гамильтон взял на себя заботу о трёх своих осиротевших сёстрах.

Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 3 года он свободно читал и начал осваивать арифметику. В 7 лет он знал латынь, греческий и древнееврейский языки. В 12 — под руководством дяди Джеймса, хорошего лингвиста, — знал уже 12 языков и среди них персидский, арабский и санскрит. В 13 лет он написал руководство по сирийской грамматике. Литературу и поэзию Гамильтон всю жизнь высоко ценил и время от времени сам пробовал писать стихи. Среди его литературных знакомых были знаменитый поэт-романтик Уильям Вордсворт, дружба между ними продолжалась до конца жизни Вордсворта, а также Сэмюэл Кольридж, с которым Гамильтон завязал оживлённую переписку.

После языков настала пора увлечения математикой. Ещё в десятилетнем возрасте Гамильтону попался латинский перевод «Начал» Евклида, и он детально изучил это сочинение; в 13 лет он прочёл «Универсальную арифметику» Ньютона; в 16 лет — большую часть «Математических начал натуральной философии» Ньютона (при этом Гамильтон — по работам Клеро и Лапласа — изучал и континентальную математику, что в Великобритании было ещё новостью). В 17 лет Уильям приступил к изучению «Небесной механики» Лапласа; в этом трактате он обнаружил логическую ошибку и сообщил о ней королевскому астроному Ирландии Джону Бринкли. Тот оценил способности юноши и стал помогать его научному развитию. Крупных учёных в Ирландии было совсем мало, и фактически Гамильтон изучал математику и физику самоучкой, в затруднительных случаях прибегая к помощи Бринкли. Ирландская писательница Мария Эджуорт, с семьёй которой подружился Уильям, назвала его «чудом талантливости, о котором профессор Бринкли говорит, что он может стать вторым Ньютоном».

В 1815—1823 годах Уильям учился в школе, затем 18-летний юноша поступил в Тринити-колледж Дублинского университета. Там он показал столь блестящие способности (первый по всем предметам), что в 1827 году, ещё 22-летним студентом, по рекомендации ушедшего в отставку Бринкли был назначен на его место — профессором астрономии в Дублинском университете и королевским астрономом Ирландии. В университете бывший студент Гамильтон, так никогда и не защитивший диссертацию, читал курс небесной механики.

Королевский астроном В 1827 году Гамильтон занял пост королевского астронома Ирландии (что автоматически означало по совместительству пост директора Дансинкской обсерватории) и занимал его на протяжении 38 лет — дольше, чем кто бы то ни было на этой должности. Он опубликовал ряд работ по геометрической оптике, представляющих большую ценность для теории оптических инструментов, но чисто астрономическими проблемами занимался мало; комиссии из Лондона дважды подвергали его критике за недостаточное усердие.

В 1833 году Гамильтон женился на Хелен Бэйли (Helen Maria Bayley). У них родились два сына и дочь. Брак оказался не слишком удачным, и Гамильтон начал злоупотреблять алкоголем.

В период 1834—1835 годов появились классические работы по «гамильтоновой механике». Шотландский математик Питер Тэт назвал эти работы «крупнейшим дополнением теоретической динамики со времени великих эпох Ньютона и Лагранжа». За открытия в оптике и по совокупности научных заслуг вице-король Ирландии возвёл Гамильтона в рыцарское достоинство (1835) и назначил ежегодное пособие в 200 фунтов, а лондонское Королевское общество наградило его (совместно с Фарадеем) Королевской медалью.

Однако впереди был ещё целый ряд крупных открытий. В том же 1835 году Гамильтон завершил разработку нового, чрезвычайно общего подхода к решению задач динамики в виде вариационного принципа (принцип Гамильтона). Спустя почти столетие именно этот подход оказался ключевым для создания квантовой механики, а открытый Гамильтоном вариационный принцип с успехом был использован при разработке уравнений поля общей теории относительности.

В 1837 году Гамильтона избрали президентом Ирландской королевской академии. В том же году по представлению академиков В. Я. Буняковского, М. В. Остроградского и П. Н. Фусса он был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук за работу «Об общем методе в динамике».

1843 год стал в жизни Гамильтона переломным. В этом году он открыл алгебраическую систему кватернионов — обобщение системы комплексных чисел — и оставшиеся два десятилетия своей жизни посвятил их исследованию. В Великобритании теорию кватернионов встретили с необыкновенным энтузиазмом и «глубоким уважением, доходящим до благоговения»; в Ирландии (а затем — и в Англии) она стала обязательным элементом образования.

В 1846 году случился неприятный скандал на обеде Геологической ассоциации, куда Гамильтон явился в состоянии чрезвычайно сильного опьянения: в результате он подал в отставку с поста президента Ирландской академии. Год спустя скончался дядя Джеймс, заменивший Уильяму отца.

Весной 1865 года здоровье Гамильтона стало быстро ухудшаться. Свой многолетний труд, монографию «Элементы кватернионов», он успел завершить за несколько дней до смерти. Гамильтон скончался 2 сентября в возрасте 60 лет. Похоронен на дублинском кладбище Mount Jerome Cemetery and Crematorium.

Научный вклад Во всех своих основных работах Гамильтон стремился поставить и решить задачу максимально общим, универсальным способом, глубоко исследовать открытые им методы и ясно очертить области их практического применения.

Математика

Теория комплексных чисел В 1835 году Гамильтон опубликовал работу «Теория алгебраических пар» (Theory of Algebraic Couples), в которой дал строгое построение теории комплексных чисел. Если Эйлер рассматривал комплексное число как формальную сумму , а Вессель и Гаусс пришли к геометрической интерпретации комплексных чисел, трактуя их как точки координатной плоскости (причём последний в 1831 году в работе «Теория биквадратных вычетов» также предложил вполне строгое построение алгебры комплексных чисел), то Гамильтон (вероятно, не знакомый с работой Гаусса) рассматривал комплексное число как пару действительных чисел. Ныне все три подхода распространены в равной мере; при этом с появлением работ Гаусса и Гамильтона был снят вопрос о непротиворечивости теории комплексных чисел (точнее, он был сведён к вопросу о непротиворечивости теории действительных чисел).

Геометрическая интерпретация комплексных чисел открывала возможность плодотворного применения их в планиметрии и при решении двумерных задач математической физики. Пытаясь добиться аналогичного результата в пространственном случае— С. 519—534, Гамильтон в течение нескольких лет работал над обобщением понятия комплексного числа и созданием полноценной системы «чисел» из троек действительных чисел (сложение должно было — как и для комплексных чисел — быть покомпонентным; проблема состояла в надлежащем определении умножения). Не преуспев в этом, он обратился к четвёркам действительных чисел. Озарение пришло к нему в один из октябрьских дней 1843 года — во время прогулки по дублинскому мосту; так появились кватернионы.

Теория кватернионов

Создание теории кватернионов Для открытых им «четырёхчленных чисел» Гамильтон ввёл название кватернионы — от ‘по четыре’Александрова Н. В. О происхождении некоторых математических понятий // Сб. научн.-метод. статей по математике, вып. 8, 1978. — С. 104—109. Наряду с представлением кватернионов четвёрками действительных чисел он — по аналогии с комплексными числами — записывал кватернионы и как формальные суммы вида

где  — три кватернионные единицы (аналоги мнимой единицы ) — С. 124—126. — С. 102—109. Предполагая умножение кватернионов дистрибутивным относительно сложения, Гамильтон свёл определение операции умножения кватернионов к заданию таблицы умножения для базовых единиц вида :

Из таблицы видно, что умножение кватернионов не является коммутативным (поэтому алгебраическая система кватернионов является телом, но не полем). В 1878 году Г. Фробениус объяснил причину неуспеха Гамильтона с тройками действительных чисел, доказав следующее утверждение (теорема Фробениуса): над полем действительных чисел существуют лишь три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: само , поле комплексных чисел и тело кватернионов  — С. 466—467.

Два следующих десятилетия Гамильтон посвятил подробному исследованию новых чисел и практическим приложениям, написав на эту тему 109 статей и две объёмные монографии «Лекции о кватернионах» и «Элементы кватернионов». Правую часть формулы он рассматривал как сумму двух слагаемых: скалярной части (число ) и векторной части (оставшаяся часть суммы); позднее некоторые авторы использовали соответственно выражения «вещественная часть» и «мнимая часть». Так в математику впервые вошли слова вектор (1847 г.) применительно к кватерниону с нулевой скалярной частью и скаляр (1853 г.) применительно к кватерниону с нулевой векторной частью. В качестве векторной и скалярной частей кватернионного произведения двух векторов появились на свет соответственно векторное и скалярное произведения.

Приложения кватернионов Крупнейшим продолжателем работ Гамильтона и популяризатором кватернионов стал его ученик — шотландский математик Питер Тэт, предложивший для них множество приложений к геометрии, сферической тригонометрии и физике. Одним из первых таких приложений стало изучение пространственных преобразований. Комплексные числа успешно используются для моделирования произвольных движений на плоскости: сложению чисел соответствует перенос точек комплексной плоскости, а умножению — поворот (с одновременным растяжением, если модуль множителя отличен от 1).