Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.
Формулировка Пусть даны две функции и такие, что: и определены и непрерывны на отрезке ; производные и определены и конечны на интервале ; производная не обращается в нуль на интервале (значит, по теореме Ролля, ). Тогда существует , для которой верно:
Замечания Потребовав явно, что , можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы и не обращались одновременно в нуль на интервале . Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом: . Геометрически утверждение можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .
Доказательство Для доказательства введём функцию
Легко видеть(тривиально), что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:
Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.
В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на и . Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у и : для это требуется явно, а если , то
Но так как , отсюда следует, что — противоречие с условием.
Литература Теорема Коши о среднем значении в Encyclopedia of Mathematics
Категория:Дифференциальное исчисление Коши о среднем значении