Гиперсфе́ра (от «сверх-» + «шар») — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы. при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра; при она представляет собой окружность; при гиперсфера является сферой. при гиперсфера является 3-сферой. при гиперсфера является 4-сферой. … при гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные. Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
где и .
Якобиан этого преобразования равен
В другом варианте,
где и .
Якобиан в такой форме равен
Площадь и объём
В -мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности её площадь поверхности и объём , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формуламВиноградов И. М. Математическая энциклопедия. — : Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферыЛ. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
а площади их поверхностей соотносятся как
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.
+ Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объём) 4 5 6 7 8 Единичная сфера () Десятичная запись 6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866 Единичный шар () Десятичная запись2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587 В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для -мерного шара размерность его «объёма» также равна , а размерность его «площади» — .
Отношение объёма -мерного шара к объёму описанного вокруг него -куба быстро уменьшается с ростом , быстрее, чем .
Топология гиперсферы В этом разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе. Шар гомеоморфен факторизации . Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
См. также Сфера Милнора Дикая сфера Расслоение Хопфа
Ссылки Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов Тренажёр для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях
Категория:Многообразия Категория:Евклидова геометрия Категория:Многомерная евклидова геометрия