Теорема Коши в теории групп гласит:

Если порядок конечной группы делится на простое число , то содержит элементы порядка .

Она тесно связана с теоремой Лагранжа, в силу которой порядок любой конечной группы делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя порядка группы , существует подгруппа, чей порядок равен . Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова, в соответствии с которой, если является максимальной степенью , на которую делится порядок группы , то имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка разрешима, можно показать, что содержит подгруппы любого порядка , для которого

Доказательство Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости, но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы.

Вариант 1

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по  = ||, начиная с  = . База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок .

Если абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент и порождённую им циклическую подгруппу . Если делит ||, то ||/ является искомым элементом порядка . Иначе делит не порядок ||, а порядок [:] факторгруппы /. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка . Им является один из классов , где лежит в . Если он имеет порядок в группе , то : благодаря тому, что в группе  = , () =  в факторгруппе /. Поэтому делит ; аналогично / окажется элементом порядка в группе , что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа является центром группы . Тогда окажется абелевой. Если её порядок кратен ,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка . Значит, этот элемент имеет порядок и в группе . Иначе не делит . Так как делит ||, а разбивается на и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент , размер чьего класса не делится на . Но легко показать, что его размер равен [ : ()] и не кратен . Поэтому делит порядок не совпадающего с группой централизатора () элемента в группе . Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка , что и требовалось доказать.

Вариант 2

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка порождает только орбиты размеров 1 и , что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

т.е. на множество последовательностей из элементов группы , чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве имеется ||−1 элементов, и их количество кратно .

Теперь заметим, что в группе = , если и только если = . Поэтому, если , то . Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества снова породят элементы . Это позволяет задать действие циклической группы порядка на множестве с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу элемент переводит .

Очевидно, при таком действии орбиты в имеют размеры 1 или . Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид и . Так как количество элементов равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов , для которых , кратно . Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы элементов, хотя бы из которых не равен единичному, а имеет порядок . Теорема доказана.

Применения Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами, где — простое число. Именно, конечная группа является -группой (т.е. порядки всех элементов — точные степени ), если и только если порядок группы сам является степенью . Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, так же, как в первом доказательстве, существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.

Пример

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если , то сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент , и циклическая группа является неединичной подгруппой . Значит, Пусть теперь порядок группы равен . Если он бесконечен, то что невозможно. Значит, конечно. Если составное, то оно кратно простому , меньшему . Но тогда существует подгруппа порядка , что противоречит условию. Значит, просто.

Примечания

Литература

Категория:Теория групп Коши (теория групп)