Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем:

Связанные определения Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени и нет элементов матрицы степени большей чем , то  — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

где все  — матрицы. В случае если определитель матрицы отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной. Пример нерегулярной λ-матрицы:

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть и  — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени и соответственно, и . Тогда можно записать, что

где хотя бы одна из матриц и  — ненулевая. Отсюда

Деление Предположим, что  — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы и с или со степенью , меньшей степени , что

.

В этом случае называется правым частным при делении на , а  — правым остатком. Подобно этому и  — левое частное и левый остаток при делении на , если

и или степень меньше степени .

Если правый (левый) остаток равен 0, то называется правым (левым) делителем при делении на .

Если  — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении на существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

поэтому мы определяем правое значение λ-матрицы в матрице как

, если

и левое значение как:

,

и в общем случае .

Теорема Безу для λ-матриц Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы на , где  — единичная матрица, является и соответственно.

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

При умножении обеих частей этого равенства на слева и сложении всех полученных равенств при правая часть будет иметь вид , где  — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

Таким образом, . Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица делилась без остатка на справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы .

Примечания

Литература

Категория:Типы матриц Категория:Функции от матриц