Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.
Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .
Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.
Определение
Пусть — группа, — её нормальная подгруппа и — произвольный элемент. Тогда на классах смежности в
можно ввести умножение:
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .
Свойства Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма , то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в . Отображение задаёт естественный гомоморфизм . Порядок равен индексу подгруппы . В случае конечной группы он равен . Если абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и будет обладать тем же свойством. изоморфна тривиальной группе (), изоморфна .
Примеры Пусть , , тогда изоморфна . Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц. Пусть (симметрическая группа), (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда изоморфна . Пусть (симметрическая группа), (знакопеременная группа), тогда изоморфна . Пусть (группа кватернионов), (циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда изоморфна .
Вариации и обобщения Фактормножество Факторкольцо Факторалгебра
Примечания
Литература
Категория:Теория групп Категория:Факторсистемы