Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.
Показывается, что существует единственный многочлен степени , удовлетворяющий условиям: , где .
Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде: , — количество узлов и — кратность узла .
Шарль Эрмит показал, что , где — коэффициенты ряда Тейлора для функции .
Доказательство
Частные случаи
Если все равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа. Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора. Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.
Оценка остатка интерполяции
См. также
Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен Ньютона Интерполяционный тригонометрический многочлен Интерполяция сплайнами
Литература
Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.
Категория:Интерполяция