Формула Лиуви́лля — Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.
Пусть есть дифференциальное уравнение вида
тогда где — определитель Вронского.
Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений где — квадратная матрица порядка с интегрируемым следом, справедлива формула Лиувилля — Остроградского
где — след матрицы
Правило дифференцирования определителя размерности 2 Производная определителя по переменной имеет вид
Правило дифференцирования определителя размерности n Пусть
Тогда для производной верно
(в -м слагаемом продифференцирована -я строка).
Доказательство для уравнения второго порядка Пусть в уравнении функции непрерывны на , а — решения данного уравнения.
Продифференцировав определитель Вронского, получим
Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив
во второе слагаемое, получим
Прибавив первую строку, домноженную на , ко второй, получим
Решения линейно независимы, поэтому
— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя, получим
Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть вектор-функции — решения линейной системы ОДУ. Введём матрицу следующим образом:
Тогда . Воспользуемся тем, что — решения системы ОДУ, то есть
.
В матричном виде последнее представимо в виде
или, вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента,
Пусть — -я строка матрицы . Тогда
Последнее означает, что производная от -й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из -й строки матрицы . Рассмотрим определитель матрицы , в которой -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк:
Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем
Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение
Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка Линейное дифференциальное уравнение -го порядка
эквивалентно следующей системе
с матрицей следующего вида:
Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен . Подстановкой в формулу для системы получаем
Применение формулы Лиувилля — Остроградского Пусть известно решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. . Используя формулу Лиувилля — Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение той же системы.
Распишем вронскиан:
поэтому
Так как для линейной независимости и достаточно , приняв , получим
Пример Пусть в уравнении известно частное решение . Воспользовавшись формулой Лиувилля — Остроградского, получим
Тогда общее решение однородного уравнения
Используемая литература
Категория:Дифференциальные уравнения