Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.
Пусть некоторое расширение поля . Элементы называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена с коэффициентами из поля
.
В другом случае элементы называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда — кольцо и — его подкольцо.
Алгебраическая независимость известных констант Пусть константы и известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над . Неизвестно даже, иррационально ли . Нестеренко доказал в 1996 году, что: числа , и алгебраически независимы над ; числа и алгебраически независимы над ; для всех положительных целых чисел , числа и алгебраически независимы над .
Пример Подмножество поля вещественных чисел не является алгебраически независимым над полем , поскольку многочлен является нетривиальным с рациональными коэффициентами и .
См. также Теорема Линдемана — Вейерштрасса
Ссылки
Примечания
Категория:Теория полей