Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор называют фредгольмовым, если , . Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.
Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.
В силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.
Индекс фредгольмова оператора Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:
Более того, для каждого конкретно заданного существует фредгольмов оператор с индексом n.
Преобразования фредгольмовых операторов Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: . Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть (теорема Аткинсона) Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть . Иначе говоря, множество является открытым в множестве ограниченных операторов.
Теорема Фредгольма — фредгольмов (здесь — тождественный оператор на X).
Критерии фредгольмовости Критерий Нётера: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор. Критерий Никольского: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: , где — множество обратимых линейных операторов.
Литература .
Категория:Теория операторов