Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа никакую -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:
не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута.
Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю . Таким образом, гипотеза Эйлера верна для .
Контрпримеры В 1966 году с помощью суперкомпьютера CDC 6600 инженерами Дармутского колледжа Ландером и Паркиным найден первый контрпример для L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079: .
В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая : .
В 1988 году Роджер Фрай () нашёл наименьший контрпример для R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000 found with a distributed Boinc project , 2011, препринт.: .
Обобщения
В 1966 году совместно с нашедшими первый контрпример Ландером и Паркиным высказал гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .
В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .
Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется -решением. Поиском таких решений для различных значений параметров , , занимаются проекты распределённых вычислений EulerNetEulerNet . и yoyo@home.
См. также Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Примечания
Ссылки EulerNet Гипотеза Эйлера
Категория:Диофантовы уравнения Категория:Теория чисел Категория:Опровергнутые математические гипотезы