В общей теории относительности инварианты Карминати — Макленахана составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана.

Определение

Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля , его левый (или правый) дуальный тензор , тензор Риччи и его бесследовую часть

Действительные скаляры: (скалярная кривизна, след тензора Риччи), , , , , . Комплексные скаляры: , , , , .

Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны: линеен по ним, квадратичны, кубичны, имеют четвёртую степень, а  — пятую. Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).

Полный набор инвариантов Вообще полное число алгебраически независимых (то есть не выражаемых друг через друга полиномиально) инвариантов пространства-времени равно 14, однако известно, что любой набор выражений, включающий полный набор инвариантов, должен быть больше этого, при этом часть инвариантов будет связана полиномиальными уравнениями, решения которых не выражаются полиномиально — сизигиями.

Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты

составляют полное множество инвариантов тензора Римана — то есть включают в себя все алгебраически независимые инварианты. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. В более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.

См. также Инвариант кривизны

Примечания

Литература

Ссылки Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.

Категория:Общая теория относительности