Квазикласси́ческое приближе́ние, также известное как метод ВКБ (Ве́нтцеля — Кра́мерса — Бриллюэ́на) — пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили его в 1926 году независимо друг от друга.
В 1923 году математик Гарольд Джеффри разработал общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но, так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, ни Вентцель, ни Крамерс, ни Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу. В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: так называемая «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.
Наиболее частое применение квазиклассического решения — приближённые формулы для нахождения энергий уровней в квантовых ямах и вероятностей прохождения туннельных барьеров в случаях, когда получение точного решения невозможно.
Вид квазиклассического решения Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера записывается как
,
где — искомая волновая функция, — потенциальная энергия, — координата, — масса частицы, — её полная энергия, — редуцированная постоянная Планка.
Квазиклассический подход даёт для такого уравнения приближённое решение
,
где — мнимая единица, а знак отражает наличие двух вариантов. Нижний предел интеграла здесь и далее в подобных случаях можно взять произвольно ввиду наличия неопределённых предэкспоненциальных констант.
Математический вывод Приведённое выше уравнение Шрёдингера можно переписать в форме
.
Мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции :
,
тогда должна удовлетворять уравнению
,
где означает производную от по . Разделим на действительную и мнимую части, вводя действительные функции и :
.
Тогда амплитуда волновой функции , а фаза .
Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:
Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого , чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но, поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.
С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде
Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить и получить
Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим
С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим и получим
.
Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим
В выписанных выражениях со значком или без значка, а также обозначают произвольные константы.
Из-за знаменателя оба приближённых решения расходятся около классической точки поворота, где , и не могут быть правильными. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.
Чтобы полностью решить задачу, необходимо найти способ избежать расходимости, связать коэффициенты и получить глобальное приблизительное решение. Обозначим классическую точку поворота через . Вблизи , можно разложить в ряд:
.
Для первого порядка имеем уравнение
.
Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:
,
где — функция Бесселя с индексом .
Используя известные из математических справочников асимптотики данного решения, можно найти отношения между и :
.
Этим построение глобального решения завершается.
Формулы для барьера и ямы Частица с полной энергией ниже максимальной высоты потенциального барьера в классической физике неспособна пройти данный барьер. Однако в квантовой механике, благодаря волновым свойствам частицы, такое прохождение становится возможным и носит название туннельного эффекта. В квазиклассическом приближении вероятность прохождения описывается формулой
,
где , — точки поворота, фиксирующие границы классически недоступной области , то есть это координаты, в которых потенциальная энергия равняется полной.
Формула получается на базе выписанного ранее выражения для , учитывая, что , откуда понятны и именно такая постановка границ в интеграле для , и появление там двойки перед интегралом. Предэкспоненциальный множитель в обеих точках поворота бесконечен, но при делении стремится к некоторому близкому к единице пределу, которым чаще всего пренебрегают.
При анализе туннелирования в реальных структурах формулу для инкорпорируют в более сложные формулы для туннельного тока.
Если частица пребывает в квантовой яме с профилем , уровни энергии в данной яме квазиклассически рассчитываются из уравнения
.
Такое уравнение требует численного решения, но это проще, чем численно решать само уравнение Шрёдингера, и может быть осуществлено методами итераций; границы интегрирования зависят от искомой энергии и находятся из условия ( — «пробная» энергия на шаге итерации).
Эта формула для уровней ямы получается с использованием квазиклассической функции .
Примечания
Литература Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255. ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
Категория:Квантовая механика