Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Сфера применения Объектами приложения векторного анализа являются: Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое. Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными: Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы Наиболее часто применяемые векторные операторы: Ротор и дивергенция — для векторных полей. Градиент — для скалярных полей. Лапласиан — для скалярных и векторных полей.

Оператор Обозначение Описание ТипГрадиент Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. Скаляр вектор Дивергенция Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор скаляр Ротор Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор вектор Лапласиан Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр скалярЛапласиан векторныйВ. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984. Статья «Оператор Лапласа» и «Ротор векторного поля».Вектор вектор

Дифференциальные операции второго порядка +Скалярное поле Векторное поле Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона встречается два раза).В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984. Статья «Дифференциальные операции второго порядка».

Основные соотношения Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема Запись Пояснения Теорема о градиенте Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. Теорема Грина Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. Теорема Стокса Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. Теорема Остроградского — Гаусса Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

Вектор-функция Векторное исчисление Градиент Дивергенция Дифференциальная геометрия Оператор набла Поверхность Ротор Формулы векторного анализа Гельмгольциан Оператор Даламбера

Примечания

Литература

Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с. Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002) Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — : Наука, 1966. В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ, 1984.

Ссылки Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Статья по векторному анализу на Astronet

*