Крива́я постоя́нной ширины́ — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции (диаметр Фере) которой на любую прямую равна .
Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно — ширине кривой.
Связанные определения Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.
Примеры
Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.
Функциональное представление В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины c опорной функцией задаётся параметрическими уравнениями
при условиях:
полученная кривая является выпуклой.
Согласно элементарной тригонометрии, первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида: Коэффициент с номером = 1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости..
Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).
В частности, опорная функция порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени
Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от , либо от и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.
Свойства У кривой постоянной ширины длина равна (теорема Барбье). Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой. Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной , всё время касаясь каждой из сторон. Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую. Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины .
Применения
Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет«Сверление квадратных отверстий » / Математические этюды сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата). Некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника постоянной ширины. Так, на семиугольнике построены монеты достоинством 20«Круглый треугольник Рело » / Математические этюды и 50 пенсов (Великобритания); 50 филсов (ОАЭ); 1 доллар (Барбадос); некоторые монеты БотсваныЧасть из них вышла из обращения в 2019 году. номиналом в 5 и 25 тхебе, 1 и 2 пулы. Форму 11-угольника постоянной ширины имеют канадские монеты номиналом в 1 доллар (известные как «луни»). Двигатель Ванкеля использует в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение. Грейферные механизмы кулачкового типа в большинстве случаев строятся на основе плоского кулачка с профилем треугольника Рёло. Наиболее известные примеры: кинопроекторы «Луч» и «Украина».
Вариации и обобщения
Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого -угольника, например, правильного -угольника. Такие фигуры называются роторамиHelmut Groemer, Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics. Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов. Рассматривались фигуры, вращающиеся внутри более общих фигур.
У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.
Примечания
Литература
Категория:Кривые