В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2ISO 80000-2:2019 ..
Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и
Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.
К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: − Знаки умножения: ×, · (в программировании также *) Знаки деления: :, ∶, /, ∕, ÷ Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠ Знак пропорциональности: ∝ Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { } Среднее арифметическое:〈 〉, ̅ Знак тождественности: ≡ Знаки сравнения: <, >, ⩽, ⩾, ≪, ≫ Знак порядка (тильда): ~ Знак плюс-минус: ± Знак корня (радикал): √ Факториал: ! Знак интеграла: ∫ Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в линейной текстовой записи формул).
Математическая логика Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение (\Rightarrow)(\rightarrow)(\supset) ⇒→⊃ Импликация, следование означает «если верно, то также верно».(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)(⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.). верно, но неверно, так как также является решением. «влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует» (\Leftrightarrow) ⇔ Равносильность означает « верно тогда и только тогда, когда верно». «если и только если» или «равносильно» (\wedge) ∧ Конъюнкция истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны. , если — натуральное число. «и» (\vee) ∨ Дизъюнкция истинно, когда хотя бы одно из условий или истинно. , если — натуральное число. «или» (\neg) ¬ Отрицание истинно тогда и только тогда, когда ложно . «не» (\forall) ∀ Квантор всеобщности обозначает « верно для всех ». «Для любых», «Для всех», «Для всякого» (\exists) ∃ Квантор существования означает «существует хотя бы один такой, что верно » (подходит число 5) «существует» = Равенство обозначает « и принимают одно и то же значение». «равно» (:\Leftrightarrow)(\stackrel{\rm{def}}{=}) :=:⇔≝ Определение означает « по определению равен ». означает « по определению равносильно » (определение гиперболического косинуса) (определение исключающего «ИЛИ») «равно/равносильно по определению»
Теория множеств и теория чисел Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение { } Множество элементов означает множество, элементами которого являются , и . (множество натуральных чисел) «Множество…» {|} Множество элементов, удовлетворяющих условию означает множество всех таких, что верно . «Множество всех… таких, что верно…» (\varnothing) ∅{} Пустое множество и означают множество, не содержащее ни одного элемента. «Пустое множество» (\in)(\notin) ∈∉ Принадлежность/непринадлежность к множеству означает « является элементом множества » означает « не является элементом множества » «принадлежит», «из»«не принадлежит» (\subseteq)(\subset) ⊆⊂ Подмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ). «является подмножеством», «включено в» (\supseteq)(\supset) ⊇⊃ Надмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ). «является надмножеством», «включает в себя» (\subsetneq) ⊊ Собственное подмножество означает и . «является собственным подмножеством», «строго включается в» (\supsetneq) ⊋ Собственное надмножество означает и . «является собственным надмножеством», «строго включает в себя» (\cup) ⋃ Объединение означает множество, содержащее все элементы из и «Объединение … и …», «…, объединённое с …» (\cap) ⋂ Пересечение означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и , и . «Пересечение … и …», «…, пересечённое с …» (\setminus) \ Разность множеств означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих . «разность … и …», «минус», «… без …» (\to) → Функция (отображение) означает функцию с областью определения и областью значений . Функция , определённая как «из … в …», (\mapsto) ↦ Отображение означает, что образом после применения функции будет . Функцию, определённую как , можно записать так: «отображается в» (\mathbb N) N или ℕ Натуральные числа означает множество или реже (в зависимости от ситуации). «Эн» (\mathbb Z) Z или ℤ Целые числа означает множество «Зет» (\mathbb Q) Q или ℚ Рациональные числа означает «Ку» (\mathbb R) R или ℝ Вещественные (действительные) числа означает множество всех пределов последовательностей из ( — мнимая единица: ) «Эр» (\mathbb C) C или ℂ Комплексные числа означает множество «Це» (\mathbb H) H или Кватернионы означает множество «Аш»
Элементарная алгебра и арифметика Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение+Сложение означает «сложение и »; «прибавить к число ».«плюс»−Вычитание означает «вычитание из числа ».«минус» × · *Умножение ( или ) означает « умножить на ».«умножить на» ÷ : /Деление ( или ) означает « разделить на ».«разделить на»=Равенство означает « и принимают одно и то же значение».«равно» (\ne)≠Неравенство означает, что меньше или больше .«не равно»<>Сравнение означает, что строго меньше . означает, что строго больше .«меньше чем», «больше чем» или (\leqslant или \leq) или (\geqslant или \geq)⩽ или ≤ ⩾ или ≥Сравнение означает, что меньше или равен . означает, что больше или равен .«меньше или равно»; «больше или равно»(\approx)≈Приблизительное равенство с точностью до 10 означает, что 2,718 отличается от не больше чем на 10. с точностью до 10.«приблизительно равно»(\propto)∝Пропорциональность означает, что есть такое число k, что (тогда говорят, что — коэффициент пропорциональности).«пропорционально» (\sqrt{}) (\sqrt[n]{})√Арифметический квадратный корень означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт (равнозначно записи ).; «корень квадратный из …»∛ ∜Кубический корень Корень четвёртой степени, если (то есть );
, если (аналогично ).;
.(\infty)∞Бесконечность и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.«плюс/минус бесконечность»
Общая алгебра Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение⊲Нормальная подгруппа, идеал кольца означает « является нормальной подгруппой группы », если — группа, и « является (двусторонним) идеалом кольца », если — кольцо.«нормальна в», «… является идеалом …»[ : ]Индекс подгруппы, размерность поля означает «индекс подгруппы в группе », если — группа, и «размерность поля над полем », если и — поля.«индекс … в …», «размерность … над …»×Прямое произведение групп означает «прямое произведение групп и ».«прямое произведение … и …»⊕Прямая сумма подпространств означает «пространство разлагается в прямую сумму подпространств и ».«прямая сумма … и …»[ , ]Коммутатор элементов группы означает «коммутатор элементов и группы », то есть элемент .«коммутатор … и …»G'Коммутант означает «коммутант группы ».«коммутант …»⟨ ⟩nЦиклическая группа означает «циклическая группа порядка , порождённая элементом ».«Циклическая группа порядка , порождённая »*Мультипликативная группа поля означает «мультипликативная группа поля », если — поле.«мультипликативная группа …»
Линейная алгебра Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение⊗Тензорное произведение означает «тензорное произведение тензоров и ».«тензорное произведение … и …»ATТранспонированная матрица означает «транспонированная матрица ».«транспонированная матрица …»Ei, jМатричная единица означает «матричная -единица», то есть матрица, у которой на месте стоит единица, а на остальных местах — нули.«матричная единица …»*Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство означает «линейный оператор, сопряжённый к », если — линейный оператор. означает «линейное пространство, сопряжённое к (дуальное к )», если — линейное пространство.«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»;
Анализ Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношение(\infty)∞Бесконечность и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.«Плюс/минус бесконечность»(\int dx)∫Интеграл означает «интеграл от до функции от по переменной ».;«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»df/dx f'(x)Производная или означает «(первая) производная функции от по переменной ».«Производная … по …»(\partial для ∂)∂f/∂yЧастная производная означает «(первая) частная производная функции от переменных по переменной ».«Частная производная … по …»df/dx f(x)Производная -го порядка или означает «-я производная функции по переменной » (при втором способе записи, если — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок).«-я производная … по …»
Другое Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название Значение ПримерПроизношениеРаздел математики(\left| \right|)| |Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества обозначает абсолютную величину . обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов .«Модуль»; «мощность»Числа и Теория множеств(\sum)∑Сумма (набора чисел), сумма ряда означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть . означает сумму ряда, состоящего из .«Сумма … по … от … до …»Арифметика, Математический анализ(\prod)∏Произведение (набора чисел), произведение ряда означает «произведение для всех от 1 до », то есть «Произведение … по … от … до …»Арифметика, Математический анализ!Факториал означает произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть ;
;« факториал»Комбинаторика
См. также Таблица обозначений абстрактной алгебры История математических обозначений Список математических аббревиатур Список обозначений в физике
Примечания
Литература Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
С Категория:Математические обозначения Символы Символы математика