ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ┌────────────┼──────────────┐простой невыпуклыйвыпуклыйзамкнутая ломанная с самопересечением

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки без самопересечений. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Виды четырёхугольников

Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны; Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны; Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые; Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны; Ромбоид — это параллелограмм , в котором смежные стороны имеют разные длины, и углы не являются прямыми. Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны и две другие не параллельны;

Четырёхугольники с антипараллельными противоположными сторонами Антипараллелограмм или контрпараллелограмм — плоский невыпуклый (самопересекающийся) четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собой, но не параллельны, в отличие от параллелограмма. Равнобедренная трапеция. Четырёхугольник, вписанный в окружность или вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Он же является четырёхугольником с антипараллельными противоположными сторонами

Четырёхугольники с перпендикулярными смежными сторонами Квадрат Прямоугольная трапеция Прямоугольник Прямоугольный дельтоид Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями Дельтоид Квадрат Четырёхугольник ортодиагональный или ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом. Ромб Четырёхугольники с параллельными диагоналями Антипараллелограмм

Четырёхугольники с равными противоположными сторонами Антипараллелограмм Квадрат Параллелограмм Прямоугольник Ромб Ромбоид Равнобедренная трапеция или Равнобокая трапеция.

Четырёхугольники с равными диагоналями Квадрат Четырёхугольник равнодиагональный или равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Прямоугольник Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция.

Четырёхугольники, описанные около окружности Четырёхугольник описанный или описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника.

Полный четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Сумма углов Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.

Метрические соотношения

Неравенство четырёхугольника Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон. . Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть:

. Равенство в неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.

Неравенство Птолемея Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

. Это соотношение можно представить в виде определителя:

Этот определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.

Соотношения Бретшнайдера Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами противоположными углами и диагоналями простого (несамопересекающегося) четырёхугольника: , , .

Другие свойства Угол на пересечении диагоналей простого четырёхугольника удовлетворяет следующему условию: , где — диагонали четырёхугольника . Данная формула эквивалентна теореме косинусов для треугольников.

Специальные прямые линии четырёхугольника Средние линии четырёхугольника Пусть  — середины сторон выпуклого четырёхугольника а  — середины его диагоналей. Назовем три отрезка соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника. Первые две из них также называют бимедианами.

Теоремы о средних линиях четырёхугольника

Обобщённая теорема Ньютона. Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке (в центроиде вершин («vertex centroid») четырёхугольника) и делятся ею пополам. Середины E и F двух диагоналей, а также центроид вершин K выпуклого четырёхугольника лежат на одной прямой EF. Указанная прямая называется прямой Ньютона. Заметим, что прямая Ньютона — Гаусса совпадает с прямой Ньютона, ибо обе проходят через середины диагоналей. Теорема Вариньона: Четырёхугольники GIHJ, EHFG, JEIF являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона Центрами этих трёх параллелограммов Вариньона назовем точки пересечения их пар диагоналей. Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат в одной и той же точке - на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. Площадь большого параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника , то есть . Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть . Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей: . : учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. Математически для рисунка справа вверху с серым четырёхугольником ABCD записывается в виде: .

Прямая Ньютона

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Указанная прямая называется прямой Ньютона (на рисунке она показана зелёным цветом). При этом прямая Ньютона всегда перпендикулярна прямой Обера. Точки, лежащие на прямой Ньютона, удовлетворяют теореме Анна.

Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника , то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией для данной линии ℓ относительно четырехугольника Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA

Специальные точки четырёхугольника Центроид четырёхугольника Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин. См. также свойства центроида четырёхугольника. Точка Понселе четырёхугольника Внутри четырёхугольника существует точка Понселе (см. параграф "Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника"). Точка Микеля четырёхугольника У каждого четырёхугольника, кроме параллелограмма, существует точка Микеля. Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника

В произвольном выпуклом четырёхугольнике окружности девяти точек треугольников , на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке — в точке Понселе.

Частные случаи четырёхугольников

Вписанные четырёхугольники

Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то четырёхугольник вписан в эту окружность, и наоборот. В частности, четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм. Теоремы для вписанных четырёхугольников: Две теоремы Птолемея. Для простого (несамопересекающегося) четырёхугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы: 1) Первая теорема Птолемея ; 2) Вторая теорема Птолемея

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими общими внутри пары концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя. 3) Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея) и Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы Определение антимедатрис см. в глоссарии планиметрии ), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольникаЗамечательные точки и линии четырехугольников// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf Теорема Монжа// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264 . Теорема о вписанности в окружность пары диагональных треугольников. Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырёхугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника). Теорема о четырёх медиатрисах. Из последнего утверждения следует: если три из четырёх медиатрис (или срединных перпендикуляров), проведённых к сторонам выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и медиатриса его четвёртой стороны. Более того, такой четырёхугольник вписан в некоторую окружность, центр которой находится в точке пресечения указанных медиатрис.

Теоремы о четырех диагональных треугольниках и об их вписанных окружностях. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.). Кроме того, ортоцентры четырёх описанных здесь треугольников являются вершинами четырёхугольника, подобного исходному четырёхугольнику (то есть также лежат на другой окружности, ибо вершины исходного вписанного четырёхугольника лежат на некоторой окружности). Наконец, центроиды этих четырёх треугольников лежат на третьей окружности. Теорема о четырёх проекциях вершин вписанного четырёхугольника на его диагонали. Пусть  — вписанный четырёхугольник,  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.