В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :
История
Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:
Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляцийHenri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285-343Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308.
Современная формулировка
Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий в (n − k)-ю группу гомологий : . Этот изоморфизм двойственности Пуанкаре определяется фундаментальным классом многообразия : , где — коцикл, обозначает -умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.
Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.
Для группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при на n-мерном многообразии являются нулевыми.
Билинейное спаривание
Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через кручение группы , и её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:
и
(Здесь — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)
Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп и , коэффициент зацепления — между кручениями групп и .
Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения
и
являются изоморфизмами групп.
Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства и . Таким образом, группы являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, .
Ссылки
Литература
Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — : Мир, 1976 Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — : Наука, 1989
Категория:Алгебраическая топология Категория:Многообразия Категория:Теории двойственности