Последовательность в математике — упорядоченный набор объектов, пронумерованных обычно натуральными числами, в котором порядок элементов имеет значение и допускаются повторения. Чаще всего под последовательностью понимают бесконечную последовательность, хотя в некоторых случаях рассматривают и конечные последовательности.

Наиболее часто в классическом математическом анализе изучаются числовые последовательности. В геометрии, современных разделах алгебры и анализа, а также в приложениях рассматриваются и нечисловые последовательности, например последовательности элементов метрических пространств, временны́е ряды нечисловой природы, последовательности состояний систем управления и автоматов.

Формально последовательность определяется как отображение множества натуральных чисел в заданное множество (элементов множества ) произвольной природы. Образ натурального числа , а именно элемент , называется -м членом последовательности, а порядковый номер члена последовательности  — его индексом.Подмножество множества , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности. Существует ряд обобщений, позволяющих нумеровать последовательности не только натуральными числами.

Подпоследовательностью последовательности называется зависящая от последовательность , где  — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

Основные способы конструктивного задания последовательностей — аналитический, где формула определяет последовательность -го члена, например: , и рекуррентный, например числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: .

Основные вопросы, возникающие при изучении последовательностей: определение того, конечна или бесконечна данная последовательность (например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет); поиск закономерностей среди членов последовательности, поиск точной аналитической или рекуррентной формулы для последовательностей, определённых свойством; поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для -го члена последовательности (например, для -го простого числа неплохое приближение даёт формула: , и существуют и более точные); прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу.

Примеры Многочлен от одной переменной можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении при .

Одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей является последовательность простых чисел.

Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа конечна и равна , а цепная дробь числа уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: .

Любое отображение множества в себя также является последовательностью.

В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.

Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на -ой позиции находится множество всех многочленов степени с целыми коэффициентами от одной переменной.

Нотация Последовательности вида:

принято компактно записывать при помощи круглых скобок: или . Иногда используются фигурные скобки: . Конечные последовательности могут записываться в следующем виде: . Также последовательность может быть записана как: , если функция была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при последовательность можно записать в виде .

Вариации и обобщения Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.

Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения . К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ — Морса. Также многочлен от нескольких переменных можно рассматривать как конечную -мерную последовательность, где на позиции находится коэффициент при произведении .

Трансфинитная последовательность — последовательность, нумеруемая всеми порядковыми числами до заданного ординала.

См. также Иерархия Направленность (математика)

Примечания

Литература

Категория:Ряды и последовательности