Одночле́н (или моно́м) — алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числового множителя (коэффициента) и степеней переменных с положительными, а в общем случае — с неотрицательными целыми показателями. Пример: .
Одночлен является простейшим видом алгебраических выражений, рассматриваемых в элементарной алгебре; его можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного члена.
Так как возведение в положительную целую степень является сокращённой записью повторяющегося умножения (например, можно записать в виде ), одночлен можно рассматривать как выражение, содержащее только операцию умножения.
В старых руководствах по алгебре одночленом иногда называли выражение, в котором последним действием не является сложение или вычитание. Однако дальнейшее изложение обычно имело в виду одночлен в принятом выше, более узком смысле.
Примеры одночленов:
Если коэффициент одночлена не указан (например, в одночлене ), он считается равным или , в зависимости от знака перед одночленом.
Что касается буквенной части, одночлены удобно приводить к «стандартному виду», объединяя степени одних и тех же переменных. В таком виде переменные принято располагать в алфавитном порядке. Например, одночлен в стандартном виде записывается как . При этом число , а также одночлены, тождественно равные нулю (например, или ), не относят к одночленам стандартного вида.
Приведение к стандартному виду позволяет ввести понятие подобных одночленов.
Подобные одночлены — одночлены, буквенные части которых после приведения к стандартному виду полностью совпадают. Нулевой одночлен считается подобным любому одночлену.
Примеры подобных одночленов: и и
Не всякое алгебраическое выражение является одночленом. Так, выражения и таковыми не являются. При этом, например, выражение считается одночленом, так как делитель 4 можно отнести к числовому множителю и записать выражение в виде или .
Операции с одночленами Сложение и вычитание При сложении и вычитании подобных одночленов получается одночлен с той же буквенной частью, а его коэффициент равен соответственно сумме или разности коэффициентов исходных одночленов; иногда результатом является ноль.
Пример:
Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных одночленов. Если одночлены не подобны, их сумма или разность образует многочлен.
Деление При делении одночленов коэффициент делимого делится на коэффициент делителя, а показатели степеней у одинаковых переменных вычитаются.
Пример:
Переменные, входящие только в делимое, сохраняются в частном с теми же показателями. Переменные с одинаковыми показателями в делимом и делителе сокращаются. Деление одночленов даёт одночлен, если показатель каждой переменной в делителе не превышает её показатель в делимом; делитель не содержит переменных, отсутствующих в делимом.
Умножение Произведение любых одночленов даёт одночлен. При этом коэффициенты перемножаются, а показатели степеней у одинаковых переменных складываются.
Пример:
Как следствие, возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.
Возведение в степень Чтобы возвести одночлен в степень, достаточно возвести в эту степень каждый его множитель и полученные результаты перемножить.
Пример:
Степень одночлена Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю. Степень нулевого одночлена не определена (в некоторых источниках её считают равной или ).
Для произвольного одночлена можно определить его степень, коэффициент и буквенную часть как, соответственно, степень, коэффициент и буквенную часть его стандартного вида.
Связь с многочленами Как отмечалось при рассмотрении сложения, алгебраическая сумма одночленов образует многочлен. Одночлен, в свою очередь, является частным случаем многочлена, то есть многочленом, состоящим из одного члена.
Примеры многочленов:
Более того, любое целое алгебраическое выражение можно представить в виде алгебраической суммы одночленов (в частности, может получиться одночлен).
Сами одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, членами многочлена являются одночлены , , и .
По аналогии со стандартным видом одночлена, если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, получится многочлен стандартного вида.
Многочлены с малым числом членов имеют особые названия: многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом.
Примеры двучленов:
Отдельно отметим, что возведение двучлена в степень выражается формулой бинома Ньютона.
Примеры трёхчленов:
С учётом определения степени одночлена степень многочлена определяется как наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Умножение и деление многочлена на одночлен Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Пример:
Аналогично, чтобы разделить многочлен на одночлен, надо разделить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные выражения сложить.
Пример:
Многочлен делится нацело на одночлен только в том случае, если каждый его член делится на этот одночлен. То есть одночлен должен быть общим множителем всех членов многочлена. Деление невозможно, если делитель содержит переменную, отсутствующую хотя бы в одном члене многочлена, или если показатель степени этой переменной в делителе больше показателя в каком-либо члене делимого.
Вариации и обобщения Приведённое выше определение одночлена не единственное: в учебниках существуют разные определения. Например, в некоторых допускаются умножение, деление и возведение в степень, тогда как в большинстве других деление исключается; более того, приведённый выше пример в других учебниках используется как пример того, что одночленом не является.
Обобщая, одночлен можно определить следующим образом:
Одночленом от переменных называется выражение вида , где — неотрицательные целые числа, а — произвольное выражение, не содержащее переменных — коэффициент этого одночлена — его степень — показатели степеней.
При необходимости могут принимать более общие значения.
Иногда для записи одночленов используется мультииндексная форма, в которой мультииндекс задаёт показатели степеней переменных.
В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они применяются, в частности, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё рассматриваются одночлены с рациональными степенями.
Обобщается и понятие коэффициента: коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует (относительно умножения) коммутативную полугруппу с единицей.
В языках программирования В Wolfram Language для разложения многочлена на одночлены используются функции: MonomialList[poly] — возвращает список всех одночленов, входящих в многочлен poly. MonomialList[poly,{x1,x2,…}] — возвращает список одночленов многочлена poly относительно переменных x1, x2, …. MonomialList[poly,{x1,x2,…},order] — возвращает список одночленов в порядке, заданном параметром order.
Этимология Термин «моном» заимствован из Епишкин Н. И. Исторический словарь галлицизмов русского языка, математическое употребление которого впервые зафиксировано в 1691 годуCNRTL MONÔME. Французское monôme восходит к «один» и «доля, часть». В английском языке термин monomial впервые встречается в 1702 году в книге Джозефа Рафсона и Жака Озанама A Mathematical Dictionary: Or; A Compendious Explication of All Mathematical Terms.
История Первым ввёл понятие одночленов и , а также дал правила их произведения, аббасидский математик аль-Караджи (953—1029). Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию.
Его последователь Самуил Марокканский (1130—1180) ввёл определения и , а также описал их арифметику, включая правило умножения степеней для целых и .
Дальнейшее развитие одночленов было связано с поиском их компактной записи. В 1484 году французский математик Николя Шюке использовал систему записи, в которой запись обозначала то, что сегодня записывается как (где верхний индекс указывал степень переменной, а не возведение самого числа в квадрат). Современный же вид одночленов с явным указанием буквенных переменных () окончательно сформировался в XVII веке благодаря трудам Франсуа ВиетаДля степеней Виет использовал сокращения: N (от Numerus) для степени 1, Q (от Quadratus) для степени 2, C (от Cubus) для степени 3, QQ (quadrato-quadratus) для степени 4 и т.д. (как дань уважения греческому математику Диофанту). и Рене ДекартаСовременные обозначения a3, a4, a5, … были впервые систематически использованы Рене Декартом в его «Геометрии», вышедшей в 1637 году. Только вместо a2 Декарт писал aa. Этот вид записи исчез после того, как Лейбниц заметил, что a2, которое занимает не больше места, чем aa, следует предпочесть для унификации символики..
См. также Многочлен Бином Моном (геометрическое программирование) Позином
Примечания
Комментарии
Литература На русском языке:
На иностранных языках:
Ссылки Monomial . Encyclopedia of Mathematics. Monomial. Wolfram MathWorld.
Категория:Алгебра Категория:Элементарная алгебра Категория:Многочлены Категория:Элементарные функции