Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.
История Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.
Характеристики
Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями , , ,
то параметрическими уравнениями псевдосферы будут , , , .
Первая квадратичная форма:
Вторая квадратичная форма:
Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².
Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы (), объём — половина от объёма шара ().
Вариации и обобщения Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.
Источники
Псевдосфера. — Прикладная математика
Литература Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, , 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, , 2007. ISBN 978-5-484-00871-1. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, , 2000. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, , 1982. Категория:Гиперболические поверхности