Вертикальная педагогика — метод обучения школьников математике, основанный на системе ключевых задач, разновозрастном взаимодействии учащихся и изменённой структуре уроков. Создан белорецким педагогом Р. Г. Хазанкиным в конце 1970-х годов. Метод отмечен Государственной премией СССР (1990) и Премией Правительства России в области образования (2006).

Применяется Р. Г. Хазанкиным и рядом его последователей. Эффективность методики подтверждается как официальным признанием на государственном уровне, так и её подробным описанием в академических и методических пособиях для педагогов. По данным публикаций, использование метода связано с достижениями учеников в развитии творческих способностей и успехами на олимпиадах.

Философия метода В традиционной организации урока ученик зачастую выполняет пассивную роль, а основное время занимает монолог учителя. Даже при проведении «устного опроса» активность и вовлечённость в обсуждение, как правило, ограничиваются лишь отвечающим учеником, а не всем классом.

Стержневой идеей данного опыта выступает задача побудить учащихся к активной работе и самостоятельному творчеству на каждом уроке, реализуя потенциал каждого школьника. Организация обучения, при которой ученики настолько поглощены процессом, что не замечают времени и не устают, является целевым состоянием метода.

Ещё одна проблема в обучении математике заключается в том, нужно ли заставлять школьника выучивать наизусть формулы, доказательства, приемы решения задач, или эти столь необходимые для математического образования элементы должны осмысливаться на уроках постепенно, путём неоднократного применения в практике решения задач. Если осмысливание признать более важным, чем заучивание, то встаёт вопрос о том, как оценивать труд учащихся и как реализовать принцип индивидуального подхода в обучении.

Таким образом, ответом на поставленные вопросы является принцип, согласно которому обучение должно основываться на познавательном интересе школьников. Для его поддержания предлагается исключить из практики формальное заучивание и строить процесс на совместной деятельности учителя и разновозрастных групп учеников, направленной на самостоятельное приобретение знаний.

Одним из путей реализации такого подхода в обучении является вертикальная педагогика, которая предполагает выполнение следующих условий (принципов).

Принципы педагогики Первый. Планирование учебной нагрузки учителя таким образом, чтобы у него образовалась «вертикаль», то есть по одному классу с восьмого или девятого по одиннадцатый класс включительно или, например, с пятого по восьмой или девятый класс. При этом учебный процесс строится таким образом, чтобы каждый ученик более старшего класса был активным помощником учителю в обучении одного ученика из класса ниже. Второй. Изменение традиционной структуры урока. При традиционной структуре 45 минут делятся на несколько частей — проверка домашнего задания, объяснение нового материала, закрепление его. Вместо суетливой спешки на уроке в попытках охватить все названное выше, используется система совместной работы учащихся и учителя, включающая в себя:

проведение уроков-лекций с целью изучения новой темы крупным блоком, активизации мышления школьников при изучении нового, экономии времени для дальнейшей творческой работы;

проведение уроков решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учащимися) вычленяет минимальное число задач, на которых реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи;

проведение уроков-консультаций, на которых вопросы задают ученики, а отвечает на них учитель;

проведение зачетных уроков, целью которых является организация индивидуальной помощи учащимся, постепенная подготовка их к решению более сложных задач, контроль усвоения пройденной темы. Проводятся и промежуточные уроки, их структура и количество зависят от сложности темы и уровня развития учащихся.

Третий. Организация систематической и целенаправленной внеклассной работы по математике с целью развития творческих способностей учащихся.

Система уроков Урок-лекция Урок-лекция — это урок приобщения школьников к творческой деятельности на учебном материале, урок соразмышления учителя и учеников. Он должен быть подготовлен так, чтобы, с одной стороны, крупным блоком рассмотреть целую тему, обеспечить высокий научный уровень, а с другой — обеспечить доступность, изящество и красоту изложения. Именно в ходе лекции пробуждается интерес к математике, но лишь когда лекция далека от пересказа параграфа учебника.

Во время лекции рассказ учителя сочетается с вопросами к классу: «А как вы думаете? Предложите свои варианты. Приведите опровергающий пример, попробуйте доказать самостоятельно, повторить доказательство, сформулируйте правило, определение или теорему. Кто может данное утверждение обобщить? Нет ли у кого другого доказательства?». Такие вопросы стимулируют активную работу мысли. Как бы хорошо ни была подготовлена лекция, учитель должен прерывать её вопросами: «Кому непонятно? Где непонятно? Кому понятно?», побуждая школьников признаваться в непонимании. Если ученик просит повторить утверждение или доказательство, учитель должен доброжелательно и обстоятельно сделать это. Важно создавать атмосферу, где ученики не боятся «ляпнуть глупость», задать любой вопрос. Пусть лучше учитель не успеет что-то из запланированного, чем прервёт задавшего вопрос.

Урок-лекция — самый трудный. Он требует большой подготовки, умения быть блестящим лектором и одновременно держать в поле зрения всех учеников, управляя их деятельностью. Его сложность в необходимости решить комплекс взаимосвязанных задач: заинтересовать учащихся материалом лекции; добиться понимания сути изучаемого вопроса; познакомить с методами математических исследований, используемыми в теме; заложить основы для решения задач и доступной творческой деятельности; ознакомить с литературой для закрепления и углубления материала.

Урок решения ключевых задач Обучение математике — это прежде всего обучение решению задач. Цель не в том, чтобы решить как можно больше однотипных задач, а в том, чтобы овладеть ключевыми идеями.

Многие задачи из учебников и задачником дублируют друг друга, отличаясь лишь обозначениями или несущественными деталями, тогда как их математическая сущность одна. Оказывается, по каждой теме достаточно выделить несколько, обычно не более 7–8 «ключевых» задач; почти все остальные можно свести к одной из них или их композиции.

В качестве примера рассмотрим тему «Решение квадратных уравнений». Большинство стандартных уравнений сводится к следующим шести типам: , где , где , где , где , n-натуральное число , где , n-натуральное число, — знакомая функция, например или , где , n-натуральное число, — знакомые функции

После разбора ключевых задач нужно организовать деятельность для тренировки в их распознавании, решении и составлении. Желательно, чтобы ученики систематизировали их и составили для себя справочники (таблички, схемы), которыми можно пользоваться на уроках и во время контрольных работ. Опыт показывает, что такие схемы-справочники используются и при подготовке в вузы.

Работа по выбору ключевых задач позволяет обеспечить фундамент для перехода к решению нестандартных задач и работе с научно-популярной литературой. Решение большинства трудных олимпиадных задач сводится к распознанию идей, отражённых в ключевых задачах. Кроме того, система позволяет обоснованно дифференцировать работу: овладение ключевыми задачами гарантирует выполнение программы, а интересующиеся математикой ученики могут перейти к составлению своих задач, решению нестандартных и участию в конкурсах.

Такой подход даёт возможность ликвидировать не только перегрузку учащихся (решается меньшее число задач, меньше их задается на дом, заранее известно, какие типы задач подлежат опросу), но и существенно облегчает труд учителя по планированию уроков, проверке знаний учащихся.

Урок-консультация Наблюдения показывают, что ученики 4–5 классов охотно обращаются за помощью, но в 6–7 классах практически перестают задавать вопросы, что может привести к потере интереса. Для преодоления этого была разработана форма урока-консультации. Её цель — организовать совместную деятельность учителя и разновозрастных учеников так, чтобы создать ситуацию, в которой школьники вынуждены и заинтересованы задавать вопросы на уроке. Консультация проводится после изучения темы, разбора ключевых задач и тренировки.

Подготовка к консультации Накануне урока ученики получают домашнее задание — подготовить карточки с условиями нерешённых или интересных задач. Практика показывает, что поначалу ученики затрудняются сформулировать вопросы. Поэтому на первых консультациях, если вопросов нет, учитель сам, обращаясь к учебнику, показывает примеры возможных вопросов, уча работе с ним.

Проведение и методические приёмы Из множества полученных задач отбирается 5–7 наиболее показательных, решение которых вооружает приёмами для решения остальных. Ценность в том, что ученики видят, как решение рождается на их глазах. Даже если учитель не может решить задачу, это активизирует совместный поиск.

Что даёт урок-консультация учителю Позволяет восполнить пробелы. Карточки с вопросами учащихся становятся ценным дидактическим материалом для повторения темы и организации контроля. Вынуждает учителя активно просматривать различные задачники, журналы (такие как «Квант», «Математика в школе») и другие источники. Вопросы учащихся используются для обобщения математических утверждений и знакомства с приёмами составления новых задач. Урок позволяет лучше узнать учеников, увидеть их динамику, выявить наиболее любознательных и поддержать тех, кто испытывает трудности. Интересные вопросы позволяют провести урок на высоком эмоциональном и научном уровне, стимулируя творчество учителя.

Что дают уроки-консультации ученикам Позволяют увидеть живой пример работы над незнакомой задачей и осознать, что они могут научиться работать так же. Дают шанс проявить себя «трудолюбивым молчунам» — ученикам, которые стесняются выходить к доске, но могут задать умный вопрос в письменной форме, получив признание. Стимулируют самостоятельную работу с учебной и научно-популярной литературой. Формируют и поддерживают привычку задавать вопросы, что обогащает любой урок в дидактическом и воспитательном плане.

Зачетные уроки Зачётные уроки — специальные уроки, на которых встречаются два класса. Эти уроки предназначены не только для контроля знаний и умений учащихся, но и прежде всего для обучения, развитию и воспитанию школьников посредством индивидуальной работы с каждым непосредственно на зачёте.

Цели и содержание зачёта Зачёт проводится по целой теме. Он призван проверять уяснение теоретических основ изучаемой темы, сформированность умения распознавать и решать ключевые задачи, использовать знание теории и алгоритмов решения ключевых задач в новой ситуации. В зачёты включается тот материал, которым должны владеть все ученики класса после изучения темы. Кроме того, целесообразно включать такой материал, который входит в программу выпускных и вступительных экзаменов.

Подготовка к зачёту К проведению зачёта привлекаются старшие школьники. Накануне зачёта старшие школьники получают специальное домашнее задание — подготовить зачётную карточку. В карточку включаются основные вопросы теории, ключевые задачи, а также задания, учитывающие индивидуальные особенности сдающего зачёт. Подготовленные карточки ребята сдают на просмотр учителю, который может предложить внести изменения.

Порядок проведения