Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.
Предпосылки
Пусть — неособая алгебраическая кривая над полем . Множество рациональных точек кривой зависит от её рода следующим образом: Случай : рациональных точек нет, либо их бесконечно много; является коническим сечением. Случай : рациональных точек нет, либо является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до . Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения. Случай : согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, может иметь лишь конечное число рациональных точек.
Доказательство
В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род , поле определения и множество точек плохой редукции . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.
В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию .
Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано . Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.
Следствия
Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами: Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек. Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля. Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.
Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения , поскольку для таких n кривая Ферма имеет род, больший 1.
Обобщения
В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой с конечнопорождённой подгруппой абелева многообразия . Заменяя на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.
Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем , то множество -рациональных точек нигде не плотно в топологии Зарисского в . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войтой.
Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.
Литература Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922). Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
Ссылки
> Contains an English translation of Faltings (1983)
> Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
. — «».
Категория:Теория чисел Категория:Алгебраические кривые Фальтингса Категория:Диофантова геометрия Категория:Алгебраическая геометрия