Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной.
Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром, минимизирующая площадь, является минимальной. Однако не всякая минимальная поверхность минимизирует площадь среди поверхностей с заданным контуром.
Примеры Геликоид Катеноид Поверхность Шерка Поверхность Эннепера Поверхность Чена — Гакстаттера
Свойства Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть. Вообще говоря, минимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске, минимизирующем площадь при данном контуре. Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком гладкой функции, определённой на выпуклой области в -плоскости, то она минимизирует площадь среди всех поверхностей с данной границей.Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. Calibrated geometries. Acta Math. 148 (1982), 47–157. Формула монотонности
История Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность, задаваемую в виде , Лагранж определил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.
Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади поверхности влечёт, что её средняя кривизна равна нулю. Поэтому за поверхностями с закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей.
Примечания
Ссылки Евгений Степанов Видео-лекции: минимальные поверхности
Категория:Минимальные поверхности Категория:Вариационное исчисление