Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.
Уравнения второго порядка Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы: , где . Матрица называется матрицей главных коэффициентов. Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде: , где — положительно определённый эллиптический оператор, .
Уравнения первого порядка на плоскости Уравнение типа , где , , — квадратные матрицы и — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров.
Решение гиперболических уравнений Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями. Поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной. Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном — в виде формулы Пуассона — Парсеваля. Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений. Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами), а также другие численные методы, подходящие для задачи.
Примеры гиперболических уравнений Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее. Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов , считая ненулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным). Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.
См. также Эллиптические уравнения Параболическое уравнение Схема с разностями против потока
Литература Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — , Наука, 1984. — 208 с.
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных