Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.
Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.
Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе и даже в некоторых научных журналах время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.
Невозможность построения
П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла разрешима только тогда, когда уравнение
разрешимо в квадратных радикалах.
Например, Трисекция осуществима для углов вида если целое число не делится на 3. Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами, длины которых выражаются взаимно простыми числами, осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числаChang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631. .
Построения с помощью дополнительных средств Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), конхоида Никомеда, конические сечения, спираль Архимеда. Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами.
Трисекция угла при помощи невсиса
Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.
Предположим, что имеется угол (рис. 1). Необходимо построить угол , величина которого втрое меньше данного: .
Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках и . Продолжим сторону исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему , и используя прямую в качестве направляющей, точку в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок . Получим угол , равный одной трети исходного угла .
Доказательство
Рассмотрим треугольник (рис. 2). Так как , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: . Угол как внешний угол треугольника равен .
Треугольник также равнобедренный, углы при его основании равны , а угол при вершине . С другой стороны, . Следовательно, , а значит, .
См. также Улитка Паскаля Математика в Древней Греции Теорема Морлея — свойство трисектрис углов треугольника. Невсис — метод построения, позволяющий выполнить трисекцию угла (не является решением задачи в классической постановке, так как вместо циркуля использует скользящую около полюса линейку).
Примечания
Литература
.
Категория:Геометрические построения Категория:Неразрешимые задачи древности Категория:Углы