Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.
Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого выполнено неравенство:
,
где — функция Лиувилля, принимающая значение , если разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.
Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно . Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — . В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — . Гипотеза ложна для большинства чисел между и ; максимум, которого достигает в этом диапазоне — (для ). Неизвестно, меняет ли знак бесконечное количество раз.
Нули функции Нули функции распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом: 2; 4; 6; 10; 16; 26; 40; 96; 586; ; ; ; ; , …
Медленный рост продолжается вплоть до члена под номером 252, равного , а следующий член уже равен .
Примечания
Ссылки Популярное видео на канале SparksMaths Статья на MathWorld
Категория:Опровергнутые математические гипотезы Категория:Гипотезы о простых числах