Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогрессии.

Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности (см. теорема Грина — Тао).

+ Примеры простых чисел в арифметической прогрессии длина разность последовательность 3 2 3, 5, 7 5 6 5, 11, 17, 23, 29 6 30 7, 37, 67, 97, 127, 157 7 150 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 10 210 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 12 13860 110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897 13 30030 14933623, 14963653, 14993683, 15023713, 15053743, 15083773, 15113803, 15143833, 15173863, 15203893, 15233923, 15263953, 15293983

По состоянию на 2020 год, самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 27, например:

+ · 23# · n, где n=0..26, 23# — праймориал числа 23, равный .

Оценка на минимальные числа в прогрессиях данной длины Для любого натурального существует арифметическая прогрессия из простых чисел длины , все члены которой не больше Karen R. Johannson "Variations on a theorem by van der Waerden" стр.74.

Последовательности без пропусков Можно потребовать, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, то есть чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел.

+ Примеры простых чисел в арифметической прогрессии без пропусков длина разность последовательность 3 2 3, 5, 7 4 6 251, 257, 263, 269 5 30 9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139 6 30 121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.

По состоянию на 2017 год известны всего 2 такие последовательности:

· 193# + x77 + 210n, для n=0..9 (93 цифры), · 193# + x77 + 210n, для n=0..9 (93 цифры), где x77 =  — 77-значное простое число, a 193#  — праймориал числа 193, то есть произведение простых .

Примечания

Ссылки Chris Caldwell, материалы с сайта Prime Pages: Словарь простых чисел: Арифметические последовательности ТОП-20: Арифметические прогрессии из простых чисел ТОП-20: Арифметические прогрессии из простых чисел без пропусков

Jarosław Wróblewski, Как найти арифметическую прогрессию из 26 простых числе? P. Erdős and P. Turán, "On some sequences of integers", J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

Категория:Целочисленные последовательности Категория:Теория простых чисел