Ультрафильтр на решётке — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Определение Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от ) фильтре.
Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если
для любых двух элементов их пересечение также лежит в для любого элемента все его надмножества лежат в для любого подмножества либо , либо
Замечания является ультрафильтром если функция на множествах , заданная как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .
Ультрафильтры в булевых алгебрах Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо
Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.
Примеры Минимальный фильтр, содержащий данный элемент , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом . Любой главный фильтр является ультрафильтром Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры. подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории , состоящее из теорем
Свойства ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным. любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр. если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра. если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто. Каждый фильтр содержится в ультрафильтре. Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах. Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах. Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров можно взять множества для всевозможных
Приложения Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения. Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха. Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу. Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.
Примечания
Категория:Теория порядков Категория:Теория решёток Категория:Нестандартный анализ