Э́ллипс ( — «недостаток, выпадение, опущение») — замкнутая плоская кривая, исторически определённая как одно из конических сечений (наряду с параболой и гиперболой). Название эллипсу дал Аполлоний Пергский в своей «Конике».
В современной геометрии эллипс чаще определяется на плоскости — как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и (фокусов эллипса) есть величина постоянная (см. рис.). Середина отрезка называется центром эллипса«Эллипс» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг..
Окружность является частным случаем эллипса, у неё оба фокуса слиты в один.
Эллипсы находят широкое применение в физике, астрономии и технике. Например, орбита каждой планеты Солнечной системы представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого расположено Солнце (точнее, фокусом является барицентр пары Солнце-планета). То же самое верно для спутников планет и всех других систем двух астрономических тел. Формы планет и звёзд часто хорошо описываются эллипсоидами. Эллипс также является простейшей фигурой Лиссажу, образованной, когда горизонтальное и вертикальное движения являются синусоидами с одинаковой частотой: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптике.
Другие определения Эллипс также можно определить как: фигуру, которая получается из окружности после аффинного преобразования; ортогональную проекцию окружности на плоскость; пересечение плоскости и прямого кругового цилиндра.
Связанные определения и стандартные обозначения
Проходящий через фокусы эллипса отрезок, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси далее обозначается Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центр и концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса. Длина малой оси далее обозначается Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях, называются соответственно большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются и . Расстояния и от каждого из фокусов до заданной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке. Расстояние от центра эллипса до его фокуса называется фокальным расстоянием. Величина называется эксцентриситетом, он находится в интервале [0, 1). Этот параметр характеризует «вытянутость» эллипса, то есть отличие его от окружности. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем меньше эллипс отличается от окружности. Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: . Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре. Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле , где — угол между радиусом и большой полуосью. Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса. Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как для фокусов соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно .
Соотношения между элементами эллипса — большая полуось; — малая полуось; — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами); — фокальный параметр; — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе); — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
— большая полуось — малая полуось — фокальное расстояние — фокальный параметр — перифокусное расстояние — апофокусное расстояние
Координатное представление
Эллипс как кривая второго порядка Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида
при инвариантах и , где:
Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):
Каноническое уравнение
Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
Соотношения
Для определённости положим, что В этом случае величины и — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.
Зная полуоси эллипса, можно вычислить: расстояние между фокусами и эксцентриситет координаты фокусов эллипса
Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как
Фокальный параметр (то есть половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен
Фокальные радиусы, то есть расстояния от фокусов до произвольной точки кривой :
Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :
Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид:
Условие касания прямой и эллипса записывается в виде соотношения
Уравнение касательных, проходящих через точку :
Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :
точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным ):
Уравнение нормали в точке
Уравнения в параметрической форме
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
где — параметр.
Параметр является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором точки, лежащей на окружности с радиусом в малую или большую полуось эллипса, а не радиус-вектором данной точки на эллипсе (см. анимацию справа).
В полярных координатах Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид
где — эксцентриситет, а — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.
Вывод уравнения Пусть и — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол отсчитывается от направления на второй фокус. Тогда из определения эллипса следует, что . Отсюда . С другой стороны, из теоремы косинусов
Исключая из последних двух уравнений, получаем
Учитывая, что и , получаем искомое уравнение.
Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид
В подерных координатах Уравнение эллипса в подерных координатах будет иметь следующий вид:
Длина дуги эллипса Длина дуги плоской линии определяется по формуле:
Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:
После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:
Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:
где — полный эллиптический интеграл второго рода.
Приближённые формулы для периметра
Не существует общей формулы, которая выражает длину периметра эллипса через его большие и малые полуоси и при этом использует только элементарные функции. Однако имеются приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры.
Одно из приближений предложено Эйлером в 1773 году; периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:
приблизительно равен
Нижние и верхние границы периметра эллипса.
Здесь верхняя граница — длина описанной концентричной окружности, проходящей через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.
Другие варианты приближённой оценки длины периметра эллипса:
Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ). Погрешность всегда положительна.
Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула: , где Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) Погрешность также всегда положительна.
Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:
При эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) погрешность составляет . Погрешность всегда отрицательна.
Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:
Точные формулы для периметра
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель В англ. переводе: независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
Альтернативная формула
где — арифметико-геометрическое среднее 1 и , а — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.
Площадь эллипса и его сегмента Площадь эллипса вычисляется по формуле
Площадь сегмента между , выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки и можно определить по формуле:
Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле
Другие свойства Оптические Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся. Если и — фокусы эллипса, то для любой точки , принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой . Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы. Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса. Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси. Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами. Эксцентриситет эллипса, то есть отношение характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут. Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: ), то эллипс вырождается в окружность. Для любого эллипса с эксцентриситетом на каждой четверти эллипса, отсекаемой от него его осями, найдётся ровно одна точка, отличная от вершины, нормаль к данному эллипсу в которой проходит через вершину эллипса. Так, для эллипса , где , то есть , координаты таких четырёх точек (по одной в каждой четверти эллипса) таковы: . Пусть эллипс с эксцентриситетом имеет фокусы и ; нормаль к нему в точке , отличной от вершины, проходит через точку данного эллипса, отличную от точки ; тогда точка является вершиной эллипса тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписан. При этом угол между большой осью такого эллипса и указанной нормалью равен ; . Для любого эллипса с эксцентриситетом нормаль к эллипсу в данной точке проходит через вершину эллипса только если данная точка сама является иной вершиной такого эллипса. Экстремальные свойства Если — выпуклая фигура и — вписанный в -угольник максимальной площади, то
где обозначает площадь фигуры . Более того, равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.