Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое -мерное риманово многообразие класса , , допускает изометрическое вложение в для достаточно большого .

Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990.

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.Matthias Günther, On the perturbation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69—77. Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга Теренсa ТаоTerence Tao Notes on the Nash embedding theorem и Ральфа ХоурдаRalph Howard Notes on Günther’s Method and the Local Version of the Nash Isometric Embedding Theorem .

Вариации и обобщения Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для -гладких вложений. Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша. Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.. Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее. Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство. Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.

Примечания

Литература

Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Нэша о регулярных вложениях Категория:Основные теоремы