Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.
Формулировка: для определённых на общем вероятностном пространстве независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями и произвольной величины выполнено:
гдe .
Если к тому же , то
Доказательство Обозначим
Тогда и (Где — индикатор) Но
поскольку в силу предположенной независимости и условий Поэтому
что и доказывает .
Для доказательства заметим, что
С другой стороны, на множестве
и, значит,
Из и находим, что:
Примечания
Литература (Theorem 22.4)
(Глава 4 § 2 раздел 1)
Колмогорова