Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.
Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.
Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.
Примеры Непустое подмножество векторного (линейного) пространства над полем является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов сумма и для всякого вектора и любого вектор . В частности, подпространство обязательно содержит нулевой вектор пространства (он также является нулевым вектором пространства ).
Векторное подпространство называется собственным подпространством, если и содержит хотя бы один ненулевой вектор.
Векторное подпространство называется инвариантным подпространством линейного отображения , если , то есть для любого вектора . Если — собственное значение отображения , то все векторы , удовлетворяющие соотношению (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению .
Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропнымШафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
Подпространство метрического пространства с метрикой обладает индуцированной метрикой , которая определена формулой для любых Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX..
Подпространство топологического пространства с топологией обладает индуцированной топологией , открытыми множествами в которой являются множества , где — всевозможные открытые множества в топологии .
Пусть — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства , и — векторное подпространство. Тогда проективное пространство является проективным подпространствомШафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1..
Примечания
Категория:Линейная алгебра Категория:Топология