Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Названы в честь Якоба Бернулли.
Определения Многочлены Бернулли можно определить различными способами в зависимости от удобства.
Явное задание: , где — биномиальные коэффициенты, — числа Бернулли, или:
Производящей функцией для многочленов Бернулли является:
Можно представить многочлены Бернулли дифференциальным оператором: , где — оператор формального дифференцирования.
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
Свойства Начальные значения многочленов Бернулли при равны соответствующим числам Бернулли:
.
Производная от производящей функции:
.
Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
, откуда: . (Функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли: .
Также бывает полезно свойство сбалансированности: (при )
Теорема об умножении аргумента: если — произвольное натуральное число, то:
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента: .
Симметрия:
Ссылки Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
Категория:Многочлены