В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:
Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.
Аналитическое продолжение Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:
,
где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.
Представления в виде рядов Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе
Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для , то есть:
где Δ — оператор конечной разности. Таким образом
Интегральные представления Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:
для Re(s)>1 и Re(q) >0.
Формула Гурвица , где
. Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь — это полилогарифм.
Функциональное уравнение Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:
верно для всех значений s.
Ряд Тейлора Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:
Таким образом ряд Тейлора имеет вид:
Ряд Лорана Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения , которые появляются в разложении:
Преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра
Связь с многочленами Бернулли Определённая выше функция обобщает многочлены Бернулли: . С другой стороны,
В частности, при :
Связь с тета-функцией Якоби Если — это тета-функция Якоби, тогда
.
Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:
.
где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.
Связь с L-функцией Дирихле При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда
при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно
в частности верно следующее представление:
обобщающее
(Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)
Рациональные значения аргументов Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов. В частности, для многочленов Эйлера :
и
,
Кроме того
,
верное для . Здесь и выражаются через хи-функциию Лежандра как
и
Приложения Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера, дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.
Частные случаи и обобщения Дзета-функция Гурвица связана с полигамма-функцией:
Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:
то есть
Примечания
Литература Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201—206. Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta Istvan Mezo and Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function, Journal of Number Theory, (2010) 130, 2, 360—369.
Ссылки
Категория:Дзета- и L-функции