Великая теорема Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Сформулирована французским математиком Пьером Ферма в 1637 году. Несмотря на простоту формулировки, буквально, на «школьном» арифметическом уровне, доказательство теоремы искали многие математики на протяжении более трёхсот лет. И только в 1994 году теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами; публикация доказательства состоялась в 1995 году.
Формулировка Теорема утверждает, что для любого натурального числа уравнение
не имеет решений в целых ненулевых числах .
Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если чётно, то тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения и при этом отрицательно, а прочие положительны, то , и получаем натуральные решения Поэтому обе формулировки эквивалентны.
Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.
История Для случая эту теорему в X веке пытался доказать ал-Худжанди, но его доказательство не сохранилось. Камал ад-Дин аль-Фариси расширил формулировку теоремы на .
В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:
Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
Ферма приводит только доказательство как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы, , в 45-м комментарии к «Арифметике» ДиофантаDiophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. & observationibus D. P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, p. 338—339. и в письме к Каркави (август 1659 года)Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, p. 431—436.. Кроме этого, Ферма включил случай в список задач, решаемых методом бесконечного спуска.
Эйлер в 1770 году доказал теорему Английский перевод: для случая , Дирихле и Лежандр в 1825 году — для , Ламе — для . Куммер показал, что теорема верна для всех простых , меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.
Принято называть утверждение, что уравнение не может быть удовлетворено не делящимися на числами, первым случаем теоремы Ферма, а утверждение, что уравнение не может быть удовлетворено числами, одно из которых делится на , — вторым случаем теоремы Ферма. Первый случай теоремы Ферма для показателей в виде чисел Софи Жермен был доказан теоремой Софи Жермен.
Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стои́т на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чиселДавид Гильберт. Математические проблемы :
Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.. В 1908 году немецкий любитель математики Пауль Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.
В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение при может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
В 1984 году немецкий математик доказал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение и предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано , который показал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника среди модулярных форм.
Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство гипотезы Таниямы — Симуры было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».
Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был Николасом Кацем обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить, заменив метод Эйлера на теорию Ивасавы . В 1995 году был опубликован завершающий вариант. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премиюАбелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма ..
Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов».
Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет чёткого консенсуса в отношении его работ.
Некоторые вариации и обобщения Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение не имеет натуральных решений Только в XX веке, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение:
Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:
Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 миллион долларов США.
«Ферматисты»
Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику) вдохновляла многих недостаточно компетентных людей на попытки её доказать. Это явление не исчезло даже после того, как доказательство было найдено, поскольку некоторые любители либо не знают о результатах Уайлса, либо хотят найти более простое доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.
Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».
Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сотен бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.
Отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) доказательств в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданияхЧеловечество может расслабиться . Сайт Российской академии наук., как правило, с последующими опровержениямиТеорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда . Сайт Российской академии наук.. Среди других примеров: Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975)Пионеры .. Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 годуЛазарь Шлёмович Райхель. Великая теорема: (Повесть) [Об учителе физики Л. Г. Марголине] / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991).. Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельствПостановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. № 1756 «О государственной регистрации авторского права…»..
Теорема Ферма в культуре и искусстве
Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.
В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» Русский перевод: профессор Саймон Флэгг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят короткометражный игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, киностудия «Центрнаучфильм», творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).
Александр Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.
В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено спустя всего пять лет.
В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство . Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр «подтверждает» это равенство:
Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.