Формула Эйлера — связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника с их радиусами.
Названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом в 1746 году. The formula for the distance is near the bottom of p.123..
Формулировка Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле
где — радиус описанной, — радиус вписанной окружности.
Замечания Георгий Александров дал развернутую формулу:
где — стороны треугольника.
Приведённую формулу можно записать как где в левой части стоит степень центра вписанной окружности относительно описанной, что может дать доказательство формулы Приведённую формулу можно переписать следующим образом . или
Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера . Существует более сильная форма этого неравенства., а именно:
где — стороны треугольника. Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.
Вариации и обобщения
Для центра вневписанной окружности Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:
где — радиус одной из вневписанных окружностей, а — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности.
Для многоугольников
Для радиусов и соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение: , или, эквивалентно,
Это соотношение называют Теоремой Фусса. Оно получено Николаем Ивановичем ФуссомNicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss в 1792 году.
Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные -угольникиАвксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе .
даёт необходимое и достаточное условие на радиусы и вписанной и описной сфер -мерного симплекса и расстояние между между центрами этих сфер.
См. также Поризм Понселе
Примечания
Ссылки
Категория:Планиметрия Категория:Геометрия треугольника Эйлера (планиметрия) Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера