В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение Если есть измеримое пространство и мера на этом пространстве, то множество из называется атомом, если

и для любого измеримого подмножества множества из

следует, что

Примеры Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра есть множество всех подмножеств X. Определим меру множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом. Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные меры Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества с существует такое измеримое подмножество B множества A, что

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

такую, что

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.

Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство и , то существует функция , задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент имеет область определения , что и доказывает утверждение.

См. также Дельта-функция Дирака Элементарные события, известные также как события-атомы

Ссылки

Категория:Теория меры