Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.
Формулировка
Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца. Однако если и — вещественные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей: .
Аналогичные тождества
«тождество одного квадрата»
означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей: , «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)
означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей: , «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей: .
Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.
Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)
История
Тождество было выведено Эйлером в 1750 году — почти за 100 лет до появления кватернионов.
Это тождество было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.
См. также Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Примечания
Категория:Тождества Категория:Теория чисел Категория:Кватернионы Категория:Аналитическая теория чисел Ч