Основное тригонометрическое тождество — соотношение , выполняющееся для произвольного значения . Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.
Доказательства
Используя единичную окружность
Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением . Пускай на окружности лежит точка, расположенная под углом от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: .
Используя прямоугольный треугольник
По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой получаем:
Возведём эти выражения в квадрат и прибавим
Согласно теореме Пифагора, следовательно .
См. также Тригонометрические тождества Список математических тождеств
Примечания
Категория:Тригонометрия