Стохастический интеграл — интеграл вида , где — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.
Стохастический интеграл от детерминированной функции Введем гильбертово пространство случайных величин , , со скалярным произведением и среднеквадратичной нормой . Здесь — обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т. д.
Пусть — конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида задана стохастическая аддитивная функция с ортогональными значениями из гильбертова пространства случайных величин , , обладающая свойствами: Для любых непересекающихся , , величины , являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: Если , являются непересекающимися полуинтервалами и составляет полуинтервал, то . Здесь — норма в гильбертовом пространстве, при .
Пусть детерминированная функция, удовлетворяющая условию . Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций , аппроксимирующих функцию так, что ,
Стохастическим интегралом от детерминированной функции называется предел
Стохастический интеграл от стохастического процесса Рассмотрим интеграл
где — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками на подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: или Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса
Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой:
при . Интеграл соответствует интегралу Ито, а совпадает с интегралом Стратоновича.
Интеграл Стратоновича Интеграл Стратоновича имеет вид
Интеграл Ито Интеграл Ито имеет вид
Его основные свойства:
Здесь — функция среднего значения, — ковариационная функция.
Интеграл Винера Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции . Интеграл вида
называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства :
Его основные свойства: . .
См. также Стохастическое исчисление Ито Стратонович, Руслан Леонтьевич
Примечания
Литература
Категория:Случайные процессы Категория:Теория вероятностей