Проблема якобиана

Проблема якобиана — гипотеза о существовании и полиномиальности отображения, обратного полиномиальному отображению , если его якобиан — ненулевая постоянная функция. Включена в число проблем Смейла — 18 важнейших нерешённых математических задач XXI века.

Впервые вопрос сформулирован в 1884 году для случая (для пары многочленов от двух переменных), в общем виде — в 1939 году. К 2022 году гипотеза была доказана для случая для многочленов не выше 124-й степени (кроме пары степеней (72,108)) и не выше 104-й во всех сочетаниях, а также для произвольного для многочленов не более, чем второй степени; кроме того, для доказательства общего утверждения достаточно было бы подтвердить его для случая, когда каждая компонента является многочленом степени не выше третьей.

19 июля 2026 года сотрудник Anthropic и математик объявил о нахождении контрпримера к гипотезе для , найденного с помощью разрабатываемой в его компании большой языковой модели Claude Fable 5. По сообщению New Scientist, уже на следующий день получено подтверждение результата от нескольких независимых математиков. Контрпримером служит полиномиальное отображение , заданное формулой: . Его якобиан равен постоянной ; тем не менее, отображение не является инъективным (и, следовательно, не является обратимым): существуют различные точки, переходящие в один и тот же образ — например, значения отображения в точках , и совпадают и равны . Таким образом, после окончательного подтверждения контрпримера гипотеза будет опровергнута для и останется открытой проблемой для для многочленов больших степеней.

Выполнение об автоморфности всякого эндоморфизма -й алгебры Вейля над полем нулевой характеристики, как было установлено независимо в 2005 году Цутимото и в 2007 году Канель-Беловым и Концевичем, эквивалентно выполнению гипотезы якобиана для . Таким образом, контрпример к проблеме якобиана для трёх переменных опровергнет гипотезу Диксьме в общем случае, оставив проблему открытой для 1-й и 2-й алгебр Вейля.

Примечания

Литература

Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Математические гипотезы