Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции , , заданной уравнением , , где значение фиксировано.
Одномерный случай Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.
Если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и при фиксированном функция строго монотонна по в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток , являющийся окрестностью точки , и такая непрерывная функция , что для любой точки
Обычно дополнительно предполагается, что функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки . В том случае строгая монотонность следует из условия , где обозначает частную производную по . Более того, в этом случае функция также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле
Пример
Рассмотрим функцию и соответствующее уравнение , которое задает на плоскости единичную окружность. Невозможно представить всю окружность в виде графика какой-либо функции . Действительно, каждому значению отвечает два разных значения . Однако можно представить часть окружности в виде графика. Например, график функции , определенной на отрезке , задаёт верхнюю половину окружности, а график функции задаёт её нижнюю половину.
Теорема о неявной функции имеет локальный характер и говорит о том, что в малой окрестности любой точки окружности, в которой выполнено условие , часть окружности, находящаяся в этой окрестности, представима в виде графика гладкой функции. Это условие выполнено, например, в точке на рисунке. Существуют лишь две точки окружности ( и диаметрально противоположная ей точка), в которых условие нарушено. Очевидно, что в сколь угодно малой окрестности каждой из этих точек часть окружности не представима в виде графика какой-либо функции .
Многомерный случай Пусть и — пространства с координатами и , соответственно. Рассмотрим отображение которое отображает некоторую окрестность точки в пространство .
Предположим, что отображение удовлетворяет следующим условиямː то есть является раз непрерывно дифференцируемым в
якобиан отображения не равен нулю в точке то есть определитель матрицы не равен нулю. Тогда существуют окрестности и точек и в пространствах и соответственно, причём , и отображение такие, что
для всех и . Отображение определено однозначно.
Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаːJittorntrum, K. An implicit function theorem. J. Optim. Theory Appl. 25 (1978), no. 4, 575—577.
Предположим, что отображение удовлетворяет следующим условиямː является непрерывным в
существуют окрестности и точек и в пространствах и соответственно, причём , такие, что для каждого фиксированного отображение является взаимно однозначным в . Тогда существует такое непрерывное отображение , что
для всех и .
См. также Теорема об обратной функции
Литература Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965 Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975 Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33 Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
Примечания
Неявной функции Категория:Дифференциальное исчисление многих переменных