Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что неотрицательная случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Формулировка Пусть неотрицательная случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда , где .
Примеры 1. Пусть — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв , получаем .
2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова: .
Доказательство
Пусть неотрицательная случайная величина имеет плотность распределения , тогда для .
Связь с другими неравенствами Если в неравенство подставить вместо случайной величины случайную величину , то получим неравенство Чебышёва:
И наоборот, представив неотрицательную случайную величину в виде квадрата другой случайной величины , такой что , из неравенства Чебышева для получим неравенство Маркова для . Распределение случайной величины определяется так: , .
Если произвольная положительная неубывающая функция, то .
В частности при , для любых , где — производящая функция моментов. Минимизируя правую часть по , получим неравенство Чернова.
Неравенство Чернова дает лучшую оценку, чем неравенство Чебышёва, а неравенство Чебышёва — лучшую, чем неравенство Маркова. Это неудивительно, поскольку неравенство Маркова предполагает знание только первого момента случайной величины , Чебышёва — первого и второго, Чернова — всех моментов.
См. также Неравенство Чебышёва Марков, Андрей Андреевич (старший)
Ссылки Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва
Маркова