Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам. Первое исследование бесконечных групп восходит к Жордану (1870).

Топологические группы

Бесконечные группы часто предполагаются топологическими — то есть снабжёнными топологией, согласованной с операциями умножения и взятия обратного элемента. В таком случае можно выделить два противоположных подкласса групп — дискретные группы и связные группы. Примером дискретной бесконечной группы является бесконечная циклическая группа с естественной, то есть дискретной, топологией. Примером связной бесконечной группы является () — конечномерное векторное пространство на вещественными (или комплексными) числами.

При этом «дискретная часть» топологической группы — то есть группа её компонент связности — является дискретной (не обязательно бесконечной) группой, в то время как её «непрерывная часть» — компонента связности единицы группы — является связной (и также не обязательно бесконечной) группой. Сама группа не полностью определяется «дискретной» и «непрерывной» компонентами, а именно не обязательно является их прямым произведением. Например, группа рациональных чисел вполне несвязна, а потому её «непрерывная часть» тривиальна, но группа не изоморфна своей «дискретной части» — счётна, но не дискретна. Аналогичным свойством обладает любая проконечная группа.

Группы Ли

Часто используемый класс бесконечных топологических групп — это группы Ли размерности больше 0. Нестрого говоря, это группы, локально выглядящие как конечномерное вещественное (или комплексное) векторное пространство (размерности больше 0). Строгое определение использует понятие гладкого или алгебраического многообразия: на группе должна быть введена структура такого многообразия, так что операции умножения и взятия обратного элемента согласованы с этой структурой.

Примеры групп Ли (и гладких, и алгебраических одновременно) — это общая линейная группа , то есть группа вещественных матриц на с ненулевым определителем, и её подгруппа специальная ортогональная группа , состоящая из ортогональных матриц с определителем 1.

При этом «дискретная часть» группы Ли (группа её компонент связности), обязательно конечна, в то время как «непрерывная часть» (компонента связности единицы) группы Ли размерности больше 0, напротив, бесконечна. Тем не менее, группа Ли не обязательно является их полупрямым произведениемLie Group Decomposition as Semidirect Product of Connected and Discrete Groups // Math.StackExchange.

С физической точки зрения Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: , где  — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если , то n параметров являются функциями от параметров . Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных . Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе: Произведение любых двух элементов группы должно быть элементом группы. Умножение элементов ассоциативно: . Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы , такой что . Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство выполняется для всех x, y, z.

Например, преобразования Лоренца образуют бесконечную группу. Элементы этой группы нумеруются вещественным параметром — скоростью инерциальной системы отсчёта. Произведение двух преобразований Лоренца с параметрами и есть преобразование Лоренца с параметром  — релятивистский закон сложения скоростей.Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 95

Вращения твёрдого тела вокруг всевозможных осей, проходящих через некоторую фиксированную точку, образуют бесконечную группу вращений. Элементы этой группы нумеруются набором вещественных чисел — углами Эйлера.Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 70-71

См. также Конечная группа Группа Ли Специальная унитарная группа Ортогональная матрица

Примечания

Литература Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.

Ссылки А. В. Михалёв, А. П. Мишина, «Бесконечные абелевы группы: методы и результаты», Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 319—375 А. Ю. Ольшанский, A. Л. Шмелькин, «Бесконечные группы», Алгебра — 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 37, ВИНИТИ, М., 1989, 5—113 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, «Бесконечные группы», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1966, ВИНИТИ, М., 1968, 57-90 А. Л. Шмелькин, «Абстрактная теория бесконечных групп», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. 1964, ВИНИТИ, М., 1966, 47—82

Категория:Теория групп