Треугольник Рёло́Встречаются и другие варианты транскрипции фамилии Reuleaux. Например, И. М. Яглом и В. Г. Болтянский в книге «Выпуклые фигуры» называют его «треугольником Релло». представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямыхОпорная прямая проходит через одну точку границы фигуры, не разделяя при этом фигуру на части., то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.
Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить (фрезеровать) квадратные отверстия.
Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого так называемого криволинейного треугольника; также он использовал его в своих механизмах.
История
Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.
Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.
Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.
Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.
Свойства Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой.
Основные геометрические характеристики
Если ширина треугольника Рёло равна , то его площадь равна
периметр
радиус вписанной окружности
а радиус описанной окружности .
Симметрия Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центрЦентр треугольника Рёло — это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника.. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой симметрий правильного треугольника.
Построение циркулем Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.
Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности, с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке; расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины не может превышать ; отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым; через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая; через каждую точку границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса Для треугольника Рёло эта окружность совпадает с одной из трёх окружностей, которые образуют его границу., причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку , является касательной к этой окружности; радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины , не превышает ; по теореме о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника; треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, а также в правильный шестиугольник; по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины.
Экстремальные свойства
Наименьшая площадь Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год), Антон Майер (1935 год), Гарольд Эгглстон (1952 год), Абрам Безикович (1963 год), Дональд Чакериан (1966 год), Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики.
Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника
и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°
то есть
Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь
максимальнаЭто утверждение следует из совокупности двух теорем — классической изопериметрической задачи Дидоны и теоремы Барбье.. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.
Наименьший угол Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.
Наименьшая центральная симметрия
Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры она равна
где — площадь фигуры, — содержащаяся в центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна
Другой способ — это мера Эстерманна
где — содержащая центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна
Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг, который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.
Качение по квадрату
Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольноЭто свойство вполне характеризует фигуры постоянной ширины. Иначе говоря, любая фигура, вокруг которой можно «вращать» описанный квадрат, будет фигурой постоянной ширины.. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон.
Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
где — ширина треугольника. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии
от угла.
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата
Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны . Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность.
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий одну четвёртую кривой, по которой движется центр треугольника Рёло при вращении в квадрате Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки
Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна
и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём
Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получать почти квадратные отверстия.
Применение
Сверление квадратных в сечении к оси фрезы отверстий
Фреза с сечением в виде треугольника Рёло и режущими лезвиями, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата в сечении состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобной фрезы заключается в том, что его ось при вращении не должна оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает в плоскости сечения кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажата фреза, и крепление инструмента не должно препятствовать этому движению.
Впервые реализовать подобную конструкцию крепления инструмента удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для этого он использовал направляющую пластину с отверстием в виде квадрата, в котором могло радиально перемещаться сверло, зажатое в «плавающем патроне». Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма . Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году.
Двигатель Ванкеля
Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.