Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается античному философу Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида.
Также эта теорема может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.
Существует ряд обобщений данной теоремы — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется.
История По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.
В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков , приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков ) применению теоремы посвящена отдельная книга.
Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.
Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.»..
Формулировки Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны и , а длина гипотенузы — , выполнено соотношение .
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.
Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой.
Доказательства В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы ПифагораElisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигурыСм. например Геометрия по Киселёву , § 196.. В нём для треугольника с прямым углом при вершине со сторонами , , , противолежащими вершинам , , соответственно, проводится высота , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения: . При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства: , покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат: .
Доказательства методом площадей Большое число доказательств задействуют понятие площади. Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
Доказательство через равнодополняемость
Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами , и гипотенузой , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна , он состоит из внутреннего квадрата площадью и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью , в результате из соотношения при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.
Доказательство Евклида
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетамиСм. например Геометрия по Киселёву , § 259..
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника, построенная к общей стороне, равна другой стороне прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и угла между ними (составленного в обоих случаях из прямого угла и угла ).
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.
Доказательство Леонардо да Винчи
К методу площадей относится также доказательство, традиционно приписываемое Леонардо да Винчи, но найденное, по-видимому, Иоганном Тобиасом Майером. В этом доказательстве для треугольника с прямым углом и квадратами , и , построенными на сторонах треугольника, на стороне последнего квадрата во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть и ). Прямая разбивает квадрат, построенный на гипотенузе, на две равные части, поскольку треугольники и равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников и , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
Доказательство методом бесконечно малых
Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов и и гипотенузы . Например, приращение катета при постоянном катете приводит к приращению гипотенузы , так что: .
Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение , интегрирование которого даёт соотношение . Применение начальных условий , определяет константу как , что в результате даёт утверждение теоремы.
Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Вариации и обобщения
Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах
Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигурEuclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.
Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями , и , построенных на катетах с длинами и и гипотенузе соответственно, имеет место соотношение:
.
Так как по теореме Пифагора , то выполнено .
Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями и , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике: , где — угол между сторонами и . Если угол равен 90°, то , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.
Произвольный треугольник